Abstract Algebra

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1 抽象代数简介

抽象代数(Abstract algebra)又称近世代数(Modern algebra),它作为数学的一门学科,主要研究对象是代数结构,比如群、环、域、格等。

19世纪30年代,在寻找五次方程求解方法的过程中,法国青年数学家伽罗瓦(E. Galois)提出了群的概念, 证明了五次以上的方程式没有公式解 。伽罗瓦彻底地解决了这个在长达200多年的时间使不少数学家伤透脑筋的问题。伽罗瓦是超越时代的天才,不仅仅是因为他在方程求解上的贡献,还因为他所发现的结果,他的奇特思想和巧妙方法,发展成为一门新学科——抽象代数学。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。一般称 伽罗瓦为抽象代数学的创始人。

本文主要参考:近世代数引论(第3版, 冯克勤等著)

1.1 什么是群、环、域

代数系统(又称代数结构)是抽象代数研究的主要对象。什么是代数系统呢? 代数系统是包含运算的集合。 典型的代数系统有群、环、域。简单地说,群(Group)是具有一个二元代数运算的代数系统;环(Ring)是具有两个代数运算的代数系统;域(Field)是满足一定条件的整环。

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2.1 集合基本知识

2.1.1 映射、满射、单射、双射

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个非空集合,如果存在一个法则 \(f\) ,使得对 \(A\) 中的每个元素 \(a\) ,按法则 \(f\) ,在 \(B\) 中有唯一确定的元素 \(b\) 与之对应,则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的映射,记作: \(f:A \to B\) 或者 \(A \overset{f}{\longrightarrow} B\) 。而“ \(f\) 把 \(a\) 映射成 \(f(a)\) ”这件事可记为: \(a \mapsto f(a)\) 。
其中, \(b\) 称为元素 \(a\) 在映射 \(f\) 下的 , \(a\) 称为 \(b\) 关于映射 \(f\) 的 原象 。集合A中所有元素的象的集合称为映射 \(f\) 的 值域 ,记作 \(f(A)\) 。

如果 \(B\) 中每个元素均是 \(A\) 中某个元素在映射 \(f\) 下的象(即有 \(f(A)=B\) ),则 \(f\) 叫做满射(Surjection)。
如果 \(A\) 中不同的元素被 \(f\) 映射成 \(B\) 中的不同元素(即有 \(a,a' \in A, a \ne a' \Rightarrow f(a) \ne f(a')\) ),则 \(f\) 叫做单射(Injection)。
如果 \(f: A \to B\) 既是单射又是满射,则 \(f\) 叫做双射(Bijection),也可以称为一一映射或一一对应。

参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/单射、双射与满射

2.1.2 置换(Permutation)

一个集合的置换(Permutation)是指该集合到自身的双射(Bijection)。

2.1.3 笛卡尔积(直积)

设 \(A\) 和 \(B\) 都是集合,我们把集合:
\[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B \}\]
叫做 \(A\) 和 \(B\) 的 笛卡尔积(Cartesian product),又称为直积。

2.1.4 运算及其结合律、交换律

设 \(A\) 是集合,从 \(A \times A\) 到 \(A\) 的映射:
\[f: A \times A \to A\]
叫做 集合 \(A\) 上的一个(二元)运算 。我们经常把集合 \(A\) 上的运算表示为 \(\bullet\) ,即对于 \(a,b \in A\) , \(f(a,b)\) 写为 \(a \bullet b\) ,或者更简单地写为 \(ab\) 。

如果运算 \(\bullet\) 对任意 \(a,b,c \in A\) 都有:
\[a \bullet ( b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c\]
则称运算 \(\bullet\) 满足 结合律

如果运算 \(\bullet\) 对任意 \(a,b \in A\) 都有:
\[a \bullet b = b \bullet a\]
则称运算 \(\bullet\) 满足 交换律

2.2 群的正式定义

代数结构(algebraic structure,又称代数系统)是指装备了一个以上的运算的非空集合。 群是满足一定条件的代数结构。在介绍群之前,先介绍“半群”、“幺元素”、“逆元素”等概念。

半群定义:集合 \(S\) 和 \(S\) 上一个满足结合律的二元运算 \(\bullet\) 所形成的代数结构叫做半群(Semigroup)。
幺元素定义:设 \(S\) 是半群,元素 \(e \in S\) 叫做半群 \(S\) 的幺元素,如果满足对每个 \(x \in S, x \bullet e=e \bullet x=x\) 。 具有幺元素的半群叫做含幺半群(Monoid),或幺半群。
逆元素定义:设 \(S\) 是含幺半群(幺元素记为 \(e\) ),元素 \(y \in S\) 叫做元素 \(x \in S\) 的逆元素,如果满足 \(x \bullet y = y \bullet x = e\) 。 \(x\) 的逆元素可记为 \(x^{-1}\) 。
群定义:半群 \(G\) 如果有幺元素,并且每个元素均可逆,则 \(G\) 叫做群。

也可以像下面这样定义群。
一个集合 \(A\) 加上集合上一个二元运算 \(\bullet\) 的代数结构,可记为 \((A, \bullet)\) ,那么我们称 \(G=(A, \bullet)\) 为群,当且仅当集合和运算满足以下几个条件:
(1) 封闭性: \(\forall a_1, a_2, \; a_1 \bullet a_2 \in A\)
(2) 结合律: \(\forall a_1, a_2, a_3, \; (a_1 \bullet a_2) \bullet a_3 = a_1 \bullet ( a_2 \bullet a_3)\)
(3) 具有幺元素: \(\exists e \in A, \; s.t. \; \forall a \in A, \; e \bullet a = a \bullet e = a\)
(4) 都有逆元素: \(\forall a \in A, \; \exists a^{-1} \in A, \; s.t. \; a \bullet a^{-1} = e\)

说明:如果仅满足(1)封闭性和(2)结合律,则 \(G\) 就是半群。

注:Haskell编程语言中实现了含幺半群(Monoid),参考:https://hackage.haskell.org/package/base-4.9.0.0/docs/Data-Monoid.html

2.2.1 交换群(阿贝尔群)

如果群中的二元运算还满足交换律,则这个群又叫做交换群(Commutative Group),或阿贝尔群(Abelian Group)。

2.2.2 群的例子

设 \(M\) 为非负整数全体, \((M, +)\) 是含幺半群,幺元素为数0。但它不是群,因为 \(M\) 中除数0外,其它元素没有逆元素,不满足群的定义。
\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) 对于加法均是阿贝尔群,分别叫做整数加法群,有理数加法群,实数加法群,复数加法群。

2.3 子群

设 \((G, \bullet)\) 为群, \(A\) 为 \(G\) 的子集。如果 \((A, \bullet)\) 也是群,则称 \(A\) 为 \(G\) 的子群,表示成 \(A \le G\) 。此外,若 \(A \ne G\) ,则称 \(A\) 为 \(G\) 的真子群,表示成 \(A < G\) 。

2.4 正交群O(n),特殊正交群SO(n)

实数域上所有 \(n\) 维正交矩阵组成的集合,对于矩阵的乘法可构成一个群,称为正交群(Orthogonal Group),记作 \(O(n)\) 。特别地,对应行列式为1或者-1的所有 \(n\) 维正交矩阵组成的集合,对于矩阵乘法也可构成一个群,称它为特殊正交群(Special Orthogonal Group),记作 \(SO(n)\) 。特殊正交群又称为旋转群(Rotation Group),因为在2维(记为 \(SO(2)\) )或3维(记为 \(SO(3)\) )情况下,它的元素可以用来表示物体的旋转。

参考:
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group
https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_group_SO(3)

2.4.1 特殊欧氏群SE(n)

我们可以把 刚体的“平移”和“旋转”两种运动记在一个矩阵中 ,这个 \((n+1) \times (n+1)\) 矩阵有下面形式:
\[\left\{ \begin{pmatrix} R & v \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \bigg| R \in SO(n) \; \text{and} \; v \in \mathbb{R}^n \right\}\]
上面矩阵组成的集合对于矩阵乘法构成的群称为特殊欧氏群(Special Euclidean group),记为 \(SE(n)\) 。

参考:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_group
http://planning.cs.uiuc.edu/node147.html

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环是一个集合 \(R\) 和 \(R\) 上两个二元运算(通常表示成加法+和乘法 \(\bullet\) )组成的代数结构 \((R, +, \bullet)\) ,并且满足以下三个条件:
(1) \((R, +)\) 是阿贝尔群。
(2) \((R, \bullet)\) 是半群。这意味着 \(R\) 中乘法运算满足结合律。
(3) 加法和乘法满足分配律。即对任意的 \(a,b,c \in R\) ,有: \(a \bullet (b + c) = a \bullet b + a \bullet c, \; (b + c) \bullet a = b \bullet a + c \bullet a\).


Author: cig01

Created: <2016-06-09 Thu 00:00>

Last updated: <2017-11-27 Mon 06:32>

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