Abstract Algebra

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\) ，使得对 \(A\) 中的每个元素 \(a\) ，按法则 \(f\) ，在 \(B\) 中有唯一确定的元素 \(b\) 与之对应，则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，记作： \(f:A \to B\) 或者 \(A \overset{f}{\longrightarrow} B\) 。而“ \(f\) 把 \(a\) 映射成 \(f(a)\) ”这件事可记为： \(a \mapsto f(a)\) 。其中， \(b\) 称为元素 \(a\) 在映射 \(f\) 下的 象（Image） ， \(a\) 称为 \(b\) 关于映射 \(f\) 的 原象（Preimage） 。集合 A 中所有元素的象的集合称为映射 \(f\) 的 值域 ，记作 \(f(A)\) 。

如果 \(A\) 中不同的元素被 \(f\) 映射成 \(B\) 中的不同元素（即有 \(a,a' \in A, a \ne a' \Rightarrow f(a) \ne f(a')\) ），则 \(f\) 叫做“单射”（Injection）。如果 \(B\) 中每个元素均是 \(A\) 中某个元素在映射 \(f\) 下的象（即有 \(f(A)=B\) ），则 \(f\) 叫做“满射”（Surjection）。如果 \(f: A \to B\) 既是单射又是满射，则 \(f\) 叫做“双射”（Bijection），也可以称为一一映射或一一对应。

单射、满射、双射和一般映射如图 1 所示。

单射的例子： \[\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}: x \mapsto \mathrm {e}^x\]
满射的例子： \[\mathbf{R} \to [-1, 1] : x \mapsto \sin(x)\]
双射的例子： \[\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+: x \mapsto \mathrm {e}^x\]
一般映射的例子： \[\mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto \sin(x)\]

参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E5%B0%84%E3%80%81%E5%8F%8C%E5%B0%84%E4%B8%8E%E6%BB%A1%E5%B0%84

一个集合的置换（Permutation）是指该集合到自身的双射（Bijection）。

设 \(A\) 和 \(B\) 都是集合，我们把集合： \[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B \}\] 叫做 \(A\) 和 \(B\) 的 笛卡尔积（Cartesian Product），又称为直积（Direct product）。

设 \(A\) 是集合，从 \(A \times A\) 到 \(A\) 的映射： \[f: A \times A \to A\] 叫做 集合 \(A\) 上的一个（二元）运算 。我们经常把集合 \(A\) 上的运算表示为 \(\bullet\) ，即对于 \(a,b \in A\) ， \(f(a,b)\) 写为 \(a \bullet b\) ，或者更简单地写为 \(ab\) 。

如果运算 \(\bullet\) 对任意 \(a,b,c \in A\) 都有： \[a \bullet ( b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c\] 则称运算 \(\bullet\) 满足 结合律 。

如果运算 \(\bullet\) 对任意 \(a,b \in A\) 都有： \[a \bullet b = b \bullet a\] 则称运算 \(\bullet\) 满足 交换律 。

如果群中的二元运算 \(\bullet\) 还满足交换律，即：
(5) 交换律（Commutativity）： \(\forall a_1, a_2, \; a_1 \bullet a_2 = a_2 \bullet a_1\)
则这个群又叫做交换群(Commutative Group)，或阿贝尔群（Abelian Group）。

设 \((G, \bullet)\) 为群。若集合 \(G\) 中元素个数有限，则称 \((G, \bullet)\) 为“有限群”，否则叫“无限群”。

若有限群 \((G, \bullet)\) 中有 \(n\) 个元素，则称为 \(n\) 阶群， \(n= |G|\) 叫做有限群 \(G\) 的阶。

设 \(M\) 为非负整数全体， \((M, +)\) 是含幺半群，幺元素为数 0。但它不是群，因为 \(M\) 中除数 0 外，其它元素没有逆元素，不满足群的定义。

\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) 对于加法均是阿贝尔群，分别叫做“整数加法群”，“有理数加法群”，“实数加法群”，“复数加法群”。

如果我们说在群里，单位元 \(e\) （即幺元）由于它的惟一性显得有些特别的话，那么其他的元素也有一些特殊的性质，其中之一就是与单位元的“距离”。

设 \((G, \bullet)\) 是群，且 \(a \in G\) ，我们把满足： \[\underbrace{a \bullet a \bullet \cdots a}_{\text{$i$ 个 $a$ 重复群运算}} = e\] 的最小正整数 \(i\) 称为 元素 \(a\) 的阶，记为 \(ord(a)\) 。 如果这样的整数 \(i\) 不存在，则称元素 \(a\) 是无限阶元。

例：求群 \(\mathbb{Z}_{12}\) 中各个元素的阶。
解：因为 \(0 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(0) = 1\) ；
因为 \(\underbrace{1 + 1 + \cdots 1}_{12} = 12 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(1) = 12\) ；
因为 \(\underbrace{2 + 2 + \cdots 2}_{6} = 12 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(2) = 6\) ；
因为 \(3 + 3 + 3 + 3 = 12 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(3) = 4\) ；
因为 \(4 + 4 + 4 = 12 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(4) = 3\) ；
因为 \(\underbrace{5 + 5 + \cdots 5}_{12} = 60 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(5) = 12\) ；
因为 \(6 + 6 = 12 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(6) = 2\) ；
因为 \(\underbrace{7 + 7 + \cdots 7}_{12} = 84 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(7) = 12\) ；
因为 \(8 + 8 + 8 = 24 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(8) = 3\) ；
因为 \(9 + 9 + 9 + 9 = 36 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(9) = 4\) ；
因为 \(\underbrace{10 + 10 + \cdots 10}_{6} = 60 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(10) = 6\) ；
因为 \(\underbrace{11 + 11 + \cdots 11}_{12} = 132 \equiv 0 \pmod {12}\) ，所以 \(ord(11) = 12\) ；

设 \((G, \bullet)\) 和 \((G', *)\) 是两个群，如果映射 \(f: G \to G'\) 满足： \[f(a \bullet b) = f(a) * f(b), \quad \forall a,b \in G\] 有时直接简记为 \[f(a b) = f(a) f(b), \quad \forall a,b \in G\] 则称映射 \(f: G \to G'\) 是群 \(G\) 到群 \(G'\) 的同态（Homomorphism）。

此外，若 \(f\) 又为单射或满射，则分别叫单同态或满同态。 如果同态 \(f\) 是一一对应，则称是群 \(G\) 到群 \(G'\) 的同构（Isomorphism）。这时，称群 \(G\) 和 \(G'\) 是同构的，记为： \(G \cong G'\) 或者 \(G \overset{\sim}{\rightarrow} G'\) 。

彼此同构的群具有完全相同的群结构。在群论中， 同构的群认为本质上是同个群，我们更主要的是研究本质不同的群之间的联系，所以，同态是群论中更重要的研究手段。

例子 1：对每个非负整数 \(n\) ， \(n\mathbb{Z} = \{na \mid a \in \mathbb{Z} \}\) 是整数加法群的子群。

例子 2：求群 \(\mathbb{Z}_4\) （其定义参见节 2.2.3.1 ）的子群。
解：集合 \(\{0,1,2,3\}\) 的所有的非空子集如下：
\[\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\]
此时仅有三个子集：
\[\{0\},\{0,2\},\{0,1,2,3\}\]

关于运算 \(+_4\) 满足群定义的 4 个要求：
（1）封闭性：运算 \(+_4\) 关于集合 \(\{0\}, \{0,2\}, \{0,1,2,3\}\) 是封闭的；
（2）结合律：这是显然的；
（3）幺元素存在：对集合 \(\{0\}, \{0,2\}, \{0,1,2,3\}\) 都有幺元素“0”存在；
（4）每个元素的逆元素存在： 对集合 \(\{0\}\) ，有： \(0^{-1} = 0\) ；对集合 \(\{0,2\}\) ，有： \(0^{-1} = 0, 2^{-1} = 2\) ；对集合 \(\{0,1,2,3\}\) ，有： \(0^{-1} = 0, 1^{-1} = 3, 2^{-1} = 2, 3^{-1} = 1\)

从而知： \((\{0\}, +_4), (\{0,2\},+_4), (\{0,1,2,3\},+_4)\) 是 \(\mathbb{Z}_4\) 的子群，其中子群 \((\{0\}, +_4), (\{0,1,2,3\},+_4)\) 为 \(\mathbb{Z}_4\) 的平凡子群。

例子 3：和上一个例子类似。可知群 \(\mathbb{Z}_{12}\) 的子群有： \((\{0\}, +_{12})\), \((\{0,6\},+_{12})\), \((\{0,4,8\},+_{12})\), \((\{0,3,6,9\},+_{12})\), \((\{0,2,4,6,8,10\},+_{12})\), \((\{0,1,2,3,\cdots,10,11\},+_{12})\)

设 \((G, \bullet)\) 为群， \(A\) 为 \(G\) 的子群，而 \(g\) 是 \(G\) 中元素，则集合 \[g \bullet A \triangleq \{g \bullet a \mid a \in A\}\] 是 \(A\) 在 \(G\) 中的左陪集（Left Cosets），称 \(g\) 是左陪集 \(g \bullet A\) 中的代表元素。类似地，集合 \[A \bullet g \triangleq \{a \bullet g \mid a \in A\}\] 是 \(A\) 在 \(G\) 中的右陪集（Right Cosets）。

下面介绍如何计算左陪集。前面介绍过 \((\{0,2\},+_4)\) 是群 \(\mathbb{Z}_4\) 的子群，记这个子群为 \(A\) ，则 \(A\) 在 \(\mathbb{Z}_4\) 中的左陪集有： \[\begin{align*} 0 +_4 A = \{0 +_4 0, 0 +_4 2 \} = \{0, 2\} \\ 1 +_4 A = \{1 +_4 0, 1 +_4 2 \} = \{1, 3\} \\ 2 +_4 A = \{2 +_4 0, 2 +_4 2 \} = \{2, 0\} \\ 3 +_4 A = \{3 +_4 0, 3 +_4 2 \} = \{3, 1\} \end{align*}\] 集合是不关心元素顺序的，所以 \(A\) 在 \(\mathbb{Z}_4\) 中的左陪集有两个，分别是 \(\{0, 2\}, \{1, 3\}\) 。 \(A\) 在 \(G\) 中的左陪集（或右陪集）个数记为 \([G : A]\) 。

可以用 \(A\) 在 \(G\) 中的左陪集（或右陪集）对 \(G\) 进行分解，这种分解会满足两个性质：

1. 每个陪集的元素个数相等；
   
2. 不同陪集中的元素不会重合。
   

下面表示了 \(G\) 的左陪集分解：
\[G = \underset{g \in G}{\bigcup} g \bullet A\]

类似地， \(G\) 的右陪集分解：
\[G = \underset{g \in G}{\bigcup} A \bullet g\]

拉格朗日定理（Lagrange's theorem）：设 \(G\) 为有限群， \(A \le G\) （即 \(A\) 是 \(G\) 的子群），则 \(|A|\) 是 \(|G|\) 的因数，满足： \[|G| = |A| \cdot [G : A]\] 其中 \([G : A]\) 是 \(A\) 在 \(G\) 中的左陪集（或右陪集）个数。

拉格朗日定理是群论中简单而有用的定理。例如：一个 6 阶群只能有 1，2，3，6 阶子群，不能有 4 阶或 5 阶子群。

如 \(\mathbb{Z}_5\) （参见节 2.2.3.1）是循环群，这个群有元素 \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\) ，其中元素 \(1,2,3,4\) 都是它的生成元。下面验证一下生成元 \(1\) \[\begin{aligned} 1 &= 1 \bmod 5 \\ 1 + 1 &= 2 \bmod 5 \\ 1 + 1 + 1 &= 3 \bmod 5 \\ 1 + 1 + 1 + 1 &= 4 \bmod 5 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 &= 0 \bmod 5\end{aligned}\] 可见群 \(\mathbb{Z}_5\) 中每个元素都可由 \(1\) 生成。下面验证一下生成元 \(2\) \[\begin{aligned} 2 &= 2 \bmod 5 \\ 2 + 2 &= 4 \bmod 5 \\ 2 + 2 + 2 &= 1 \bmod 5 \\ 2 + 2 + 2 + 2 &= 3 \bmod 5 \\ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 &= 0 \bmod 5\end{aligned}\] 可见群 \(\mathbb{Z}_5\) 中每个元素都可由 \(2\) 生成。下面验证一下生成元 \(3\) \[\begin{aligned} 3 &= 3 \bmod 5 \\ 3 + 3 &= 1 \bmod 5 \\ 3 + 3 + 3 &= 4 \bmod 5 \\ 3 + 3 + 3 + 3 &= 2 \bmod 5 \\ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 &= 0 \bmod 5\end{aligned}\] 可见群 \(\mathbb{Z}_5\) 中每个元素都可由 \(3\) 生成。下面验证一下生成元 \(4\) \[\begin{aligned} 4 &= 4 \bmod 5 \\ 4 + 4 &= 3 \bmod 5 \\ 4 + 4 + 4 &= 2 \bmod 5 \\ 4 + 4 + 4 + 4 &= 1 \bmod 5 \\ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 &= 0 \bmod 5\end{aligned}\] 可见群 \(\mathbb{Z}_5\) 中每个元素都可由 \(4\) 生成。不过， \(\mathbb{Z}_5\) 中的幺元素（单位元） \(0\) 显然不是生成元。

再举一个循环群的例子： \((\mathbb{Z}_5)^{\star}\) （参见节 2.2.3.2），这个群有元素 \(\{1, 2, 3, 4\}\) 它们可以由 \(2\) 生成： \[\begin{aligned} 2^1 &= 2 \bmod 5 \\ 2^2 &= 4 \bmod 5 \\ 2^3 &= 3 \bmod 5 \\ 2^4 &= 1 \bmod 5 \end{aligned}\] 可见群 \((\mathbb{Z}_5)^{\star}\) 中每个元素都可由 \(2\) 生成。

我们看一个不是循环群的例子： \((\mathbb{Z}_{12})^{\star}\) （参见节 2.2.3.2），这个群有元素 \(\{1, 5, 7, 11\}\) 。显然幺元素 \(1\) 不是生成元，我们看看另外三个元素是不是生成元： \[\begin{aligned} 5^1 &= 5 \bmod 12 \\ 5^2 = 25 &= 1 \bmod 12 \\ 5^3 = 125 &= 5 \bmod 12 \\ \cdots \\ 7^1 &= 7 \bmod 12 \\ 7^2 = 49 &= 1 \bmod 12 \\ 7^3 = 343 &= 7 \bmod 12 \\ \cdots \\ 11^1 &= 11 \bmod 12 \\ 11^2 = 121 &= 1 \bmod 12 \\ 11^3 = 1331 &= 11 \bmod 12 \\ \cdots \end{aligned}\] 可见 \(5,7,11\) 都无法生成出 \((\mathbb{Z}_{12})^{\star}\) 的所有元素，从而 \((\mathbb{Z}_{12})^{\star}\) 没有生成元，显然不可能是循环群。

由循环群可以推导出很多有用的结论，如（证明略）：

1. 循环群的每一个子群均为循环群。
   
2. \(G\) 为循环群，则对于 \(|G|\) 的每一个正因子 \(d\) ， \(G\) 恰好包含一个 \(d\) 阶子群。
   
3. \(G\) 为循环群，则对于 \(|G|\) 的每一个正因子 \(d\) ， \(G\) 包含 \(\varphi(d)\) 个 \(d\) 阶元（注：这里 \(\varphi(n)\) 表示 Euler's totient function，即小于 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数的个数）。
   

例： \(\mathbb{Z}_{12}\) （参见 2.2.3.1 ）是循环群，因为任意元素都可以由元素 1 重复多次群运算 \(+_{12}\) 而得到。 \(|G|=12\) ，它的正因子有：1,2,3,4,6,12。从而，由上面的结论 2 有：
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 1 阶子群（为 \(\{ 0 \}\) ）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 2 阶子群（为 \(\{ 0,6 \}\) ）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 3 阶子群（为 \(\{ 0,4,8 \}\) ）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 4 阶子群（为 \(\{ 0,3,6,9 \}\) ）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 6 阶子群（为 \(\{ 0,2,4,6,8,10 \}\) ）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含一个 12 阶子群（为 \(\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}\) ）。
由上面的结论 3 有（节 2.2.4 中介绍了 \(\mathbb{Z}_{12}\) 中各个元素的阶，可以去那里验证一下）：
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 1 阶元 \(\varphi(1)=1\) 个（为 0）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 2 阶元 \(\varphi(2)=1\) 个（为 6）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 3 阶元 \(\varphi(3)=2\) 个（为 4 和 8）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 4 阶元 \(\varphi(4)=2\) 个（为 3 和 9）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 6 阶元 \(\varphi(6)=2\) 个（为 2 和 10）；
\(\mathbb{Z}_{12}\) 包含 12 阶元 \(\varphi(12)=4\) 个（为 1、5、7 和 11）。

设 \(G\) 为群，则 \(G\) 中每个元素 \(a\) 生成的循环群 \(\langle a \rangle\) ，都称为 \(G\) 的循环子群（Cyclic Subgroup）。

设 \((G, \bullet)\) 为群， \(N\) 为 \(G\) 的子群，而 \(g\) 是 \(G\) 中元素，记 \(gN = \{g \bullet n \mid n \in N\}, Ng = \{n \bullet g \mid n \in N\}\) ，这个记号在节 2.3.2 中也使用过。

设 \(N\) 是 \(G\) 的子群，如果对于每个 \(g \in G\) ，都有 \(gN = Ng\) ，则说 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群（Normal Subgroup），记为 \(N \triangleleft G\) 。

正规子群还有一些彼此等价的定义，如：

1. \(gng^{-1} \in N\) 对于所有 \(g \in G, n \in N\) 都成立；
   
2. \(G\) 对于 \(N\) 的每个左陪集都是右陪集。
   

阿贝尔群（或交换群）的所有子群都是它的正规子群，因为显然有 \(gN = Ng\) 。 不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群（Hamiltonian group）。

在随后的讨论中，我们将使用在 \(G\) 的子集上的二元运算：如果给出 \(G\) 的两个子集 \(S\) 和 \(T\) ，我们定义它们的乘积为 \(ST = \{ st : \forall s \in S, t \in T \}\) 。这个运算是符合结合律的，并有单位元为单元素集合 \(\{e\}\) ，这里的 \(e\) 是 \(G\) 的单位元。因此， \(G\) 的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群。

凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么？ 群 \(G\) 的商群是 \(G\) 的一个划分，而它在上面这个乘积运算下是群。

设 \(N\) 是群 \(G\) 的正规子群。我们定义 商群 \(G/N\) 是 \(N\) 在 \(G\) 中的所有左陪集的集合，就是说 \(G/N = \{ gN : g \in G \}\) 。 因为 \(N\) 的正规性， \(N\) 在 \(G\) 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 \(G/N\) 也可以定义为 \(N\) 在 \(G\) 中所有的右陪集的集合。

群 \(\mathbb{Z}_n\) 有个正规子群 \((N=\{0, 3\}, +_6)\) ，则商群（ \(N\) 在 \(G\) 中的所有左陪集的集合）为 \[G/N=\{g +_6 N: g \in G \} = \{ 0 +_6 N, 1 +_6 N, 2 +_6 N \} = \{ \{0,3\}, \{1,4\}, \{2, 5\} \}\] 可见群 \(G\) 的商群是 \(G\) 的一个划分。

群同态定理也称群同构定理（参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems ），在泛代数领域有广泛的应用。

我们可以把 刚体的“平移”和“旋转”两种运动记在一个矩阵中 ，这个 \((n+1) \times (n+1)\) 矩阵有下面形式：
\[\left\{ \begin{pmatrix} R & v \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \bigg| R \in SO(n) \; \text{and} \; v \in \mathbb{R}^n \right\}\]
上面矩阵组成的集合对于矩阵乘法构成的群称为特殊欧氏群（Special Euclidean group），记为 \(SE(n)\) 。

参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_group
http://planning.cs.uiuc.edu/node147.html

设 \(I\) 是交换环 \(R\) 的理想，如果存在 \(x \in R\) 使得 \(I = Rx\) ，则 \(I\) 被称为交换环的“主理想”（Principal Ideal）。

从主理想的定义中可知， 主理想就是“可由一个元素生成的理想”。

比如， \(\mathbb{Z}\) 的每个理想都是主理想。事实上 \(\mathbb{Z}\) 是主理想整环（后文将介绍）。

如果一个整环（整环定义参见节 3.1）的理想都是主理想，则该整环称为“主理想整环”（Principal Ideal Domain，简称 PID）。

所有的域（Field）都是主理想整环。

环 \(R\) 的理想 \(P\) 如果满足下面两个条件，则称 \(P\) 为“素理想”：

1. \(P\neq R\)
   
2. 对于任意 \(a \in R, b \in R\) ，如果 \(ab \in P\) ，那么 \(a\) 或者 \(b\) 至少有一个属于 \(P\)，即满足 \(a \in P\) 或者 \(b \in P\)
   

整数环 \(\mathbb{Z}\) 的理想均有形式 \(n\mathbb{Z} (n \ge 0)\) 。由于 \(\mathbb{Z}\) 是整环，从而零理想 \((0)\) 为素理想。当 \(n \ge 2\) 时， \(n\mathbb{Z}\) 为素理想 \(\Longleftrightarrow\) \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 为整环 \(\Longleftrightarrow\) \(n\) 为素数，这就表明整数环 \(\mathbb{Z}\) 的全部素理想由 \(p\mathbb{Z}\) （ \(p\) 为素数）和零理想 \((0)\) 组成。即 素理想和素数概念基本上是一致的。

如果环同态 \(f\) 是单射，则 \(f\) 叫“单同态”，单同态 \(f\) 也称为环 \(R\) 到环 \(S\) 中的嵌入（Embedding）。如果环同态 \(f\) 是满射，则 \(f\) 叫“满同态”。如果环同态 \(f\) 是一一映射，则 \(f\) 叫“同构”（Isomorphism），记为 \(R \cong S\) 或者 \(R \overset{\sim}{\rightarrow} S\) 。

环论中的同构定理和群论中的同构定理（节 2.5.3）很相似。将群同构基本定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。

定理： 有限域的阶（即元素的个数）一定是一个素数的幂（即可表示为 \(p^k\) 的形式，其中， \(p\) 为素数， \(k\) 为正整数）。 并且，素数 \(p\) 就是有限域的“特征”（即对每个元素 \(a\) 均有 \(\underbrace{a + a + \cdots + a}_{p \text{ times}} = 0\) ，特征的定义参考节 3.2 ）。

图 5 （摘自 Cryptography and Network Security - Principles and Practice, 6th Edition）演示了 \(\text{GF}(7)\) 的两种运算及在这两种运算下的逆元素。