Binary Quadratic Forms

当 \(d > 0\) 时，二元二次型称为不定型（Indefinite），这是因为随着 \(x,y\) 的变化， \(f(x,y)\) 的值可正可负，也可为零。

当 \(d < 0\) 时，二元二次型称为定型（Definite），这是因为不论 \(x,y\) 取任何实值，只要 \(x,y\) 不同时为零， \(f(x,y)\) 的值恒正或恒负。具体来说， 当 \(d<0, a>0\) 时，只要 \(x,y\) 不同时为零，一定有 \(f(x,y) > 0\) ，这时 \(f(x,y)\) 称为正定型（Positive Definite）；当 \(d<0, a<0\) 时，只要 \(x,y\) 不同时为零，一定有 \(f(x,y) < 0\) ，这时 \(f(x,y)\) 称为负定型（Negative Definite）。 由于负定型乘以一个负号可以转换为正定型，所以很多时候我们只讨论正定型。

如果判别式满足下面条件之一：

1. \(d \equiv 1 \pmod 4\) 并且 \(d\) 是 Square-free 整数；
   
2. \(d = 4m\) ，其中 \(m \equiv 2 \; \text{or}\; 3 \pmod 4\) 并且 \(m\) 是 Square-free 整数。
   

则称它为基本判别式（Fundamental Discriminant）。

上面定义中，提到了 Square-free 整数，一个整数是 Square-free 整数是指它的素因子分解中，素因子的指数都为 1。比如 \(10 = 2 \cdot 5\) ，由于它的因子的指数都是 \(1\) ，所以 \(10\) 是 Square-free 整数，又如 \(18 = 2 \cdot 3^2\) ，由于因子 \(3\) 的指数大于 \(1\) ，所以 \(18\) 不是 Square-free 整数。

下面是最小的 12 个正 Fundamental Discriminant：

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37

下面是最大的 12 个负 Fundamental Discriminant：

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, -35

如果 \(d\) 为基本判别式，则以 \(d\) 为判别式的型一定是原型。 原型的定义可参考节 2.3 。

如果二元二次型系数满足 \(\gcd(a,b,c) = 1\) ，则称这个二元二次型为原型（Primitive Form）。

很多时候我们仅仅讨论原型，这是因为如果不是原型，即 \(\gcd(a,b,c) = k \ne 1\) ，这时，我们可以设 \(a=kA,b=kB, c=kC\) ，这样， \(a,b,c\) 可以都去除公共因子 \(k\) 而得到另一个原型。

如果 \(d\) 为基本判别式，则以 \(d\) 为判别式的型一定是原型。

假设 \(f(x,y) = ax^2 + b xy + cy^2\) 和 \(g(x,y) = a_1 x^2 + b_1 xy +c_1 y^2\) 相似，则它们的判别式相等。

由于它们相似，所以有： \[\begin{aligned} g(x,y) &= f(rx+sy, tx+uy) \\ &= a(rx+sy)^2 + b(rx+sy)(tx+uy) + c (tx+uy)^2 \\ &= (ar^2 + brt +ct^2)x^2 + (2ars + b(ru+st) + 2ctu) xy + (as^2 + bsu + cu^2) y^2 \end{aligned}\] 从而： \[\begin{aligned} a_1 &= ar^2 + brt +ct^2 \\ b_1 &= 2ars + b(ru+st) + 2ctu \\ c_1 &= as^2 + bsu + cu^2 \end{aligned}\] 由此可得： \[\begin{aligned} b_1^2 - 4a_1c_1 &= (2ars + b(ru+st) + 2ctu )^2 - 4 (ar^2 + brt +ct^2)(as^2 + bsu + cu^2) \\ &= (b^2 - 4ac) (ru -st)^2 \\ &= b^2 - 4ac \end{aligned}\] 上一步转换过程中利用了 \((ru-st)^2 = 1\) 。由此可见，相似型的判别式相等。

设有 \(f(x,y) = x^2 + 4xy + 2y^2\) 和 \(g(x,y) = -x^2 + 4xy - 2y^2\) ，问 \(f(x,y)\) 和 \(g(x,y)\) 是否相似。

答案是肯定的，因为存在 \(r = -3, s = 2, t=1, u=-1\) ，显然它们满足 \(ru-st = 1\) ，而且 \[\begin{aligned} f(rx+sy, tx+uy) &= f(-3x+2y, x-y) \\ &= (-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2} \\ &= -x^2 + 4xy - 2y^2 \\ & = g(x,y) \end{aligned}\] 所以二元二次型 \(f(x,y)\) 和 \(g(x,y)\) 是相似的。

二元二次型之间的相似关系是一种等价关系，所以可把所有二元二次型依据是否相似进行分类，凡相似的分在同一类，凡不相似的绝不在同一类。同一分类的判别式相同。 不过，判别式相同却不一定都相似。

对于给定的判别式 \(d\) ，有多少个二元二次型，它们的判别式会为 \(d\) 呢？由于 \(a,b,c\) 可以从 \(\mathbb{Z}\) 中随意选择，一般可以找到无数对 \(a,b,c\) 满足 \(b^2-4ac = d\) 这个要求。

不过，如果 把相似的二元二次型算做一类，那么有多少类二元二次型的判别式会为给定的 \(d\) 呢？这个类数（Class Number）我们把它记为 \(h(d)\) ，Lagrange 证明了当 \(d<0\) 时， \(h(d)\) 是有限的。 至少到底 \(h(d)\) 为多少，可参考节 4.4 。

对于任意正定型（由节 2.1 可知正定型会满足 \(d<0, a>0\) ），如果下面两个不等式都成立： \[\begin{aligned} & -a < b \le a \le c \\ & b \ge 0 \;if\; a = c \end{aligned}\] 则我们称这样的二元二次型为 Reduced 二元二次型。 这种表述见于 Binary Quadratic Forms - An Algorithmic Approach。

关于 Reduced 二元二次型还有另一种表述：对于任意正定型，如果 \(-a < b \le a < c\) 或者 \(0 \le b \le a = c\) 成立，则称它为 Reduced 二元二次型。这种表述见于“数论导引（华罗庚著）”。

对于任意一类（所有相似的二元二次型称为一类）正定型二元二次型，它们之间“有且仅有一个” Reduced 二元二次型。 这样，Reduced 二元二次型就非常重要了，因为它可以唯一标记正定型二元二次型的类别。

定理：判别式为 \(d\) 的正定型二元二次型的类数等于适合 \[b^2 - 4ac = d, \begin{cases} -a < b \le a < c \\ or \; 0 \le b \le a = c \end{cases}\] 的整数组 \(a,b,c\) 的组数。证明过程可参考“数论导引（华罗庚著）”。

这个定理也可换一种表述：当 \(d < 0\) 时，类数 \[h(d) = \left| \left\{ (a,b,c) \in \mathbb{Z}^3 \;\middle|\; \begin{aligned} & b^2 - 4ac = d \\ & -a < b \le a < c \; or \; 0 \le b \le a = c \end{aligned} \right\} \right|\]

注 1：这个定理中对 \(a,b,c\) 的约束条件 \(-a < b \le a < c \; or \; 0 \le b \le a = c\) 就是 Reduced 二元二次型的定义要求。换句话说， \(d<0\) 时，二元二次型的类数就是判别式为 \(d\) 的 Reduced 二元二次型的个数。

注 2：由这个定理容易推导出类数有限的结论。因为由节 4.3 知 \(a \le \sqrt{|d|/3}\) ，从而 \(a\) 是有限的；又由于 \(|b| \le a\) ，从而 \(b\) 也是有限的；又由于 \(c = (b^2-d)/4a\) ，从而 \(c\) 也是有限的。从而 \(a,b,c\) 的组合也是有限的，从而类数有限。

德国数学家 Dirichlet 给出了计算类数的解析公式，称为 Dirichlet Class Number Formula ，表述如下。

设 \(d\) 为基本判别式，则类数 \(h(d)\) 满足下面公式 \[h(d)=\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}\] 式中 \[w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}\] 式中 \(L(1,\chi)\) 为 Dirichlet L-function \[L(1,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n}\] 式中 \(\chi(n) =\left(\!{\frac {d}{n}}\!\right)\) 为 Kronecker symbol ，式中 \(\varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}})\) ，其中 \(t,u\) 是 Pell 方程 \(x^2 - d y^2 = 4\) 的解（需要满足 \(t>0,u>0\) ，且 \(u\) 为最小可能值）。

高斯类数问题（Class Number Problem）是指下面 3 个高斯猜想：

1. 正好存在 9 个负的基本判别式，使得类数 \(h(d) = 1\) 。
   
2. 当负的基本判别式 \(d \to -\infty\) 时，类数 \(h(d) \to + \infty\) 。
   
3. 存在无穷多个正的基本判别式，使得类数 \(h(d) \to + \infty\) 。
   

目前为止，剩下第 3 个猜想未解决。