Calculus

设某个动点沿 \(y\) 轴作直线运动，已经其位移和时间的函数为 \(y=f(t)\) 。如果是匀速运动，则随意取一段时间，再求得这段时间内所经过的路程，最后拿路程和时间相除就得到了该点的速度。如果不是匀速运动，则如何求得该点在某个时间 \(t_0\) 的速度呢？
首先，取从时刻 \(t_0\) 到 \(t\) 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 \(y_0 = f(t_0)\) 移动到了 \(y = f(t)\) ，在 \(t-t_0\) 这个时间段内动点的平均速度为：
\[\frac{y - y_0}{t - t_0} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}\]
如果时间间隔很短，则上面比值在实践中也可用来说明动点在时刻 \(t_0\) 的速度。令 \(t \to t_0\) ，取上式的极限，如果这个极限存在，设为 \(v\) ，即有：
\[v = \lim_{t \to t_0}{\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}}\]
这时就把这个极限值 \(v\) 称为动点在时刻 \(t_0\) 时刻的瞬时速度。

先介绍下曲线在某点处的切线的概念。设有曲线 C 及 C 上一点 M，在点 M 处另取 C 上一点 N，作割线 MN，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 切线 。下面将讨论如何求切线 MT 的斜率。
以曲线 C 为函数 \(y=f(x)\) 的图形为例。

割线 MN 的斜率为：
\[\tan \varphi = \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x)}\]
当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时（即 \(x \to x_0\) ），如果上式的极限存在，设为 \(k\) ，即有：
\[k = \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}\]
这是就是曲线 C 在点 M 处的切线斜率。

求函数 \(f(x) = C\) （ \(C\) 为常数） 的导数。
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} = \lim_{h \to 0}{\frac{C - C}{h}} = 0\]
即常数的导数等于零。

参考：
Common Derivatives and Integrals: http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Common_Derivatives_Integrals.pdf
The Most Important Derivatives and Antiderivatives to Know: http://www.dummies.com/how-to/content/the-most-important-derivatives-and-antiderivatives.html

设 \(u=u(x), v=v(x)\) 都可导，则：
(1) \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
(2) \((uv)' = u'v + uv'\)
(3) \(\left( \dfrac{u}{v} \right) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, v \ne 0\)

设 \(y = f(u)\) ，而 \(u=g(x)\) 且 \(f(u)\) 及 \(g(x)\) 都可导，则复合函数 \(y = f[g(x)]\) 的导数为：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

注：复合函数的求导法则可以推广到三个或更多个中间变量的情形。

设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义， \(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在这个区间内，如果增量：
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\]
可表示为：
\[\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\]
其中， \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 是可微的，而 \(A \Delta x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的 微分(Differential) ，记作 \(dy\) ，即有：
\[dy = A \Delta x\]

如果把式 \(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\) 两边除以 \(\Delta x\) ，可得： \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\) 。从而，当 \(\Delta x \to 0\) 时，有：
\[A = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = f'(x_0)\]

函数 \(y=f(x)\) 在任意点 \(x\) 的微分，称为 函数的微分 ，记作 \(dy\) 或 \(df(x)\) ，有：
\[dy = f'(x) \Delta x\]

总结： 微分是对函数的局部变化的一种线性描述。

实例：求函数 \(y=x^2\) 在 \(x=1\) 和 \(x=3\) 处的微分。
解：函数 \(y=x^2\) 在 \(x=1\) 处的微分为： \(dy|_{x=1} = (x^2)'|_{x=1} \Delta x = 2 \Delta x\) ；在 \(x=3\) 处的微分为： \(dy|_{x=3} = (x^2)'|_{x=3} \Delta x = 6 \Delta x\) 。

实例：求函数 \(y=x^3\) 当 \(x=2, \Delta x = 0.02\) 时的微分。
解： \(dy \Bigr|_{\substack{x=2 \\ \Delta x = 0.02}} = (x^3)' \Delta x \Bigr|_{\substack{x = 2 \\ \Delta x = 0.02}} = 3 \cdot 2^2 \cdot 0.02 =0.24\)

在工程问题中，经常遇到一些复杂的计算公式，直接计算比较麻烦，利用微分可以把复杂的计算公式用简单的近似公式来代替（用 \(dy\) 近似代替 \(\Delta y\) ）。

由前面介绍的知识，有：
\[\Delta y \approx dy = f'(x_0) \Delta x, \qquad (\Delta x \to 0)\]
上式也可写为：
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \Delta x, \qquad (\Delta x \to 0)\]
或：
\[f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x, \qquad (\Delta x \to 0)\]
上面这些式子都可以用来作近似计算。

实例：求 \(\int x^2 \, \mathrm{d}x\)
解：由于 \(\left( \frac{x^3}{3} \right)' = x^2\) ，所以 \(\frac{x^3}{3}\) 是 \(x^2\) 的一个原函数，从而 \(\int x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} + C\)

定积分 \(\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x\) 在几何上表示曲线 \(y=f(x)\) 、两条直线 \(x=a\) 和 \(x=b\) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形的面积。如果所围图形出现在 \(x\) 轴的下方，则 \(\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x\) 表示 \(x\) 轴上方图形面积减去 \(x\) 轴下方图形面积所得之差。

实例：计算定积分 \(\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x\)
解：由于 \(\frac{x^3}{3}\) 是 \(x^2\) 的一个原函数，根据牛顿-莱布尼茨公式，有
\[\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]

求多元函数的偏导数，并不需要新方法，因为只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的。

实例：求 \(z = x^2 + 3xy + y^2\) 的偏导数。
解：把 \(y\) 看做常量，得 \(\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y\) ；把 \(x\) 看做常量，得 \(\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y\) 。

二元函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的偏导数有下述几何意义。
设 \(M_0 (x_0, y_0, f(x_0,y_0)\) 为曲面 \(z = f(x,y)\) 上的一点，过 \(M_0\) 作平面 \(y=y_0\) ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 \(y=y_0\) 上的方程为 \(z = f(x, y_0)\) ，则偏导数 \(f_x (x_0, y_0)\) 就是这曲线在点 \(M_0\) 处的切线 \(M_0 T_x\) 对 \(x\) 轴的斜率。
同样，偏导数 \(f_y (x_0, y_0)\) 的几何意义是曲面被平面 \(x = x_0\) 所截得的曲线在点 \(M_0\) 处的切线 \(M_0 T_y\) 对 \(y\) 轴的斜率。

总结： 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率。

设函数 \(z = f(x,y)\) 在区域 \(D\) 内具有偏导数 \(f_x(x,y)\) 和 \(f_y(x,y)\) ，在 \(D\) 内它们都是 \(x,y\) 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 \(z = f(x,y)\) 的 二阶偏导数 。按照对变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数：
\[\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx}(x,y)\]
\[\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{xy}(x,y)\]
\[\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{yx}(x,y)\]
\[\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy}(x,y)\]
其中第二、三个偏导数称为混合偏导数（可以证明它们是相等的）。类似地，可得其他更高阶的偏导数。

对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以处，并不其他条件，这称为无条件极值。函数的无条件极值问题，可以利用下面定理求得。

定理（必要条件）：设函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 具有偏导数，且在点 \((x_0, y_0)\) 处有极值，则有： \(f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0\) 。
定理（充分条件）：设函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 \(f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0\) ，令
\[f_{xx}(x_0,y_0) = A, \, f_{xy}(x_0,y_0) = B, \, f_{yy}(x_0,y_0) = C\]
则 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处是否取得极值的条件如下：
(1) \(AC-B^2 > 0\) 时具有极值，且当 \(A < 0\) 时有极大值，当 \(A > 0\) 时有极小值；
(2) \(AC-B^2 < 0\) 时没有极值；
(3) \(AC-B^2 = 0\) 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

说明：上面定理可以推广到求解三元或更多元函数的极值，请看下节。

假设 \(n\) 元函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 在定义域内二阶连续可导，如何求解它的极值呢？

第一步，求驻点。
求解下面方程组：
\[\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} = 0 \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} = 0 \\ \end{cases}\]
求得的解即为驻点，设共有 \(k\) 个解，记作 \(M_i, (i=1,2,\cdots,k)\)

第二步，判断驻点是否为极值点。
求函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 的 Hessian 矩阵：
\[\nabla^2 f(\boldsymbol{x}) = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{array} \right)\]

依次验证每个驻点 \(M_i, (i=1,2,\cdots,k)\) ：
(1) 如果 \(\nabla^2 f(M_i)\) 是正定矩阵，则该点是一个极小值；
(2) 如果 \(\nabla^2 f(M_i)\) 是负定矩阵，则该点是一个极大值；
(3) 如果 \(\nabla^2 f(M_i)\) 是不定矩阵，则该点不是极值点。

注：正定矩阵等概念请参考线性代数或矩阵论相关资料。

除前面讨论的无条件极值。在实例问题中，对可能会对自变量附加条件，这称为条件极值（这里只讨论附加约束条件为等式的情况）。
例如，求表面积为 \(a^2\) 而体积为最大的长方体的体积问题。可化为满足条件 \(2(xy+yz+zx)=a^2\) ，求 \(V=xyz\) 的极值。对于这个条件极值问题，可以用下面方法转换为无条件极值问题：由 \(2(xy+yz+zx)=a^2\) 求出 \(z\) 关于 \(x,y\) 的函数，再代入到 \(V=xyz\) 中，可得到 \(V= \frac{xy}{2} \left( \frac{a^2 - 2xy}{x+y} \right)\) ，这样就把条件极值问题化为了无条件极值问题。

但在很多情形下，将条件极值问题化为了无条件极值问题是很困难的。下面介绍的拉格朗日乘数法可以帮助我们求解条件极值。

拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)：要找函数 \(z = f(x,y)\) 在附加条件 \(\varphi(x,y)=0\) 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
\[L(x,y) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)\]
其中 \(\lambda\) 为参数，求其对 \(x\) 与 \(y\) 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 \(\varphi(x,y)=0\) 联立起来，组成方程组：
\[\begin{cases} f_x(x,y) + \lambda \varphi_x(x,y) = 0 \\ f_y(x,y) + \lambda \varphi_y(x,y) = 0 \\ \varphi(x,y) = 0 \end{cases}\]
由上面方程组解出 \(x\) 和 \(y\) 就是函数 \(f(x,y)\) 在附加条件 \(\varphi(x,y) = 0\) 下的可能极值点。

说明 1：至于可能极值点是否是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
说明 2：极值点是极小值点还是极大值点，可以由 \(f\) 的 Hessian 矩阵在该点是否是正定矩阵来判断。如果 Hessian 矩阵在极值点是正定矩阵，则该极值点为极小值点；如果 Hessian 矩阵在极值点是负定矩阵，则该极值点为极大值点。

上面方法可以推广到自变量多于两个，条件多于一个的情形。如 \(u = f(x,y,z,t)\) 在两个附加条件 \(\varphi(x,y,z,t) = 0, \; \phi(x,y,z,t) = 0\) 下的极值，可以先作拉格朗日函数\(L(x,y,z,t) = f(x,y,z,t) + \lambda \varphi(x,y,z,t) + \mu \phi(x,y,z,t)\) ，对它关于 \(x,y,z,t\) 求一阶偏导数再与附加条件联立得到一个方程组，方程组的解即是可能的极值点。

参考：
Lagrange Multiplier: http://mathworld.wolfram.com/LagrangeMultiplier.html

例：求表面积为 \(a^2\) 而体积为最大的长方体的体积。
解：设长方体的三棱长为 \(x,y,z\) ，则问题就是在条件
\[\varphi(x,y,z) = 2(xy + yz + zx) - a^2 =0\]
下，求函数
\[V=xyz \quad (x>0, y>0, z>0)\]
的最大值。
作拉格朗日函数
\[L(x,y,z) = xyz + \lambda (2xy + 2yz + 2zx - a^2)\]
求其对 \(x,y,z\) 的偏导数，并使之为零。再和 \(\varphi(x,y,z) = 0\) 联立，得到方程组：
\[\begin{cases} yz + 2 \lambda (y+z) = 0 \\ xz + 2 \lambda (x+z) = 0 \\ xy + 2 \lambda (y+x) = 0 \\ 2(xy + yz + zx) - a^2 = 0 \end{cases}\]
由上面方程组，可以求得：
\[x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a\]
这是唯一可能的极值点。由于问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。故表面积为 \(a^2\) 的长方体的最大体积为 \(V=\frac{\sqrt{6}}{36}a^3\)

函数方向导数定义如下：
设 \(f\) 是定义于 \(R^n\) 中某个区域 \(D\) 上的函数，点 \(P_0 \in D\) ， \(l\) 为一给定的非零向量， \(P\) 为一动点，向量 \(P_0P\) 与 \(l\) 的方向始终一致。如果极限
\[\lim_{||P_0P|| \to 0}\frac{f(P) - f(P_0)}{||P_0P||}\]
存在，则称此极限为 函数 \(f\) 在 \(P_0\) 处沿 \(l\) 方向的方向导数 ，记作 \(\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{P_0}\) ，即有：
\[\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{P_0} = \lim_{||P_0P|| \to 0}\frac{f(P) - f(P_0)}{||P_0P||}\]

常用下面定理求解方法导数：
若函数 \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 在点 \(P_0\) 处可微，那么函数在该点沿任一方向 \(l\) 的方向导数存在，且有：
\[\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{P_0} = \left. \frac{\partial f}{\partial x_1} \right|_{P_0} \cos \alpha_1 + \left. \frac{\partial f}{\partial x_2} \right|_{P_0} \cos \alpha_2 + \cdots + \left. \frac{\partial f}{\partial x_n} \right|_{P_0} \cos \alpha_n \]
其中， \(\cos \alpha_1, \cos \alpha_2, \cdots, \cos \alpha_n\) 是方向 \(l\) 的方向余弦。

方向余弦的定义如下：
设 \(l\) 是一个 \(n\) 维非零向量， \(l_0 = \frac{l}{||l||}\) ，即 \(l_0\) 是与 \(l\) 同向的单位向量。取 \(0 \le \alpha_i \le \pi\) ，使 \(l_0 = (\cos \alpha_1, \cos \alpha_2, \cdots, \cos \alpha_n)\) ，显然会有 \(\cos^2 \alpha_1 + \cos^2 \alpha_2 + \cdots + \cos^2 \alpha_n = 1\) ，称 \(\cos \alpha_1, \cos \alpha_2, \cdots, \cos \alpha_n\) 为 向量 \(l\) 的方向余弦 。

实例：求 \(f(x,y,z) = xy + yz + zx\) 在点 \((1,1,2)\) 沿方向 \(l\) 的方向导数，其中 \(l\) 的方向角分别为 \(60^o,45^o,60^o\)
解：方向 \(l\) 的方向余弦为：
\[(\cos60^o, \cos45^o, \cos60^o) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})\]
又，函数 \(f(x,y,z)\) 在点 \((1,1,2)\) 处对 \(x,y,z\) 的偏导数为：
\[\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1,2)} = \left. (y+z) \right|_{(1,1,2)} = 3\]
\[\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1,2)} = \left. (x+z) \right|_{(1,1,2)} = 3\]
\[\left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{(1,1,2)} = \left. (y+x) \right|_{(1,1,2)} = 2\]
所以有：
\[\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{(1,1,2)} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(5 + 3 \sqrt{2})\]

设二元函数 \(f(x,y)\) 在平面区域 \(D\) 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 \(P_0(x_0,y_0) \in D\) ，向量 \(\left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} \boldsymbol{i} + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} \boldsymbol{j}\) 称为函数 \(f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处的 梯度(Gradient) ，记作 \(\text{grad}f(x_0,y_0)\) 或者 \(\nabla f(x_0,y_0)\) ，即有：
\[\nabla f(x_0,y_0) = \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} \boldsymbol{i} + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} \boldsymbol{j}\]
其中 \(\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j}\) 称为（二维的）“向量微分算子”或者“Nabla 算子”。对于平面区域 \(D\) 上的每一点都有梯度，记为：
\[\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j}\]

以上梯度概念可以容易地推广到三维和更高维的情况。

说明： 沿梯度方向，函数值增加最快。同样可知，沿梯度的相反方向函数值的减少最快。

实例：设 \(f(x,y,z) = x^3 - xy^2 - z\) ，问 \(f(x,y,z)\) 在 \(P_0(1,1,0)\) 处沿什么方向增加最快？
解：由于 \(\nabla f = f_x \boldsymbol{i} + f_y \boldsymbol{j} + f_z \boldsymbol{k} = (3x^2 - y^2) \boldsymbol{i} - 2xy \boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}\) ，从而 \(f(x,y,z)\) 在 \(P_0(1,1,0)\) 处沿 \(\nabla f(1,1,0) = 2 \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}\) 的方向增加最快。

拉格朗日乘数法求解条件极值可以表述为：
\(f\) 在 \(M\) 个约束条件 \(g_1 = 0, g_2=0, \cdots, g_M =0\) 下的可能极值点是满足下面方程组的解：
\[\begin{cases} \nabla f + \sum_{k=1}^{M} \lambda_k \nabla g_k = 0 \\ g_1 = g_2 = \cdots = g_M = 0 \end{cases}\]

其中 \(\nabla f + \sum_{k=1}^{M} \lambda_k \nabla g_k = 0\) 是一个向量方程。

实例：求解 \(u = f(x,y,z,t)\) 在两个附加条件 \(g_1(x,y,z,t) = 0, \, g_2(x,y,z,t) = 0\) 下的极值。
可以先作拉格朗日函数 \(L(x,y,z,t) = f(x,y,z,t) + \lambda_1 g_1(x,y,z,t) + \lambda_2 g_2(x,y,z,t)\) ，对它关于 \(x,y,z,t\) 求一阶偏导数再与附加条件联立成方程组，得：
\[\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} + \lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x} + \lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} + \lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y} + \lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial z} + \lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} + \lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial t} + \lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial t} + \lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial t} = 0 \\ g_1(x,y,z,t) = 0 \\ g_2(x,y,z,t) = 0 \end{cases}\]

上面方程组可简写为如下“Nabla 算子”形式：
\[\begin{cases} \nabla f + \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2 = 0 \\ g_1 = g_2 = 0 \end{cases}\]

如何理解拉格朗日乘数法呢？

如下图所示，求曲面 \(f(x,y)\) 在约束 \(g(x,y) = c\) 下的最大值。

上图对应的“等高线图”如下图所示，蓝虚线为等高线。极值出现在红线（约束条件）和蓝虚线（等高线）相切的点。如果 \(g(x,y) = c\) 和等高线相交，则意味着还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部，使得新的等高线与 \(g(x,y) = c\) 的交点的值更大或者更小， 所以只有当等高线与 \(g(x,y) = c\) 相切的时候，才可能取得极值。 又由于 \(d_1 > d_2\) ，所以极值为最大值。

极值点处等高线与约束条件的曲线相切（这时它们的梯度方向相同或相反）， 这就是拉格朗日乘数法的方程： \(\nabla f = -\lambda \nabla g\) 。