Hermite and Birkhoff Interpolation
Table of Contents
1. Hermite 插值
在数值分析（Numerical Analysis）中，埃尔米特插值（Hermite interpolation）是一种多项式插值方法，它是拉格朗日插值（Lagrangian interpolation）的一种推广。
我们知道，已知 \(n+1\) 个点 \((x_0,y_0), (x_1,y_1), \cdots, (x_{n},y_{n})\) ，使用拉格朗日插值方法可以找到一个次数小于 \(n+1\) 的唯一的多项式符合这些点。比如，已知 3 个点 \((1,1), (2,4), (3,9)\) ，使用拉格朗日插值方法可以找到一个 2 次多项式 \(L(x)=x^2\) 符合这些点。
在使用拉格朗日插值时，已知的点都是某些位置的直接函数值（没有导数值）；而 Hermite 插值中，已知的点不仅包含函数值，还可以包含函数的导数值。
已知下面 \((n+1)(m+1)\) 个点： \[\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{{n}},y_{{n}}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{{n}},y_{{n}}'),\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{0},y_{0}^{{(m)}}),&(x_{1},y_{1}^{{(m)}}),&\ldots ,&(x_{{n}},y_{{n}}^{{(m)}})\end{matrix}\] 式中 \(y_{0}'\) 是一阶导函数在 \(x_0\) 处的值， \(y_{0}^{(m)}\) 是 \(m\) 阶导函数在 \(x_0\) 处的值，其它记号类似。 使用 Hermite 插值可以找到一个次数小于 \((n+1)(m+1)\) 的唯一的多项式符合这些点。 显然当 \(m=0\) 时，不涉及导函数，可以直接使用拉格朗日插值方法。本文仅介绍当 \(m=1\) 时的简单情况。
1.1. 简单情况（m=1）时的公式
当 \(m=1\) 时，也就是给定的数据最多包含一阶导数值，不会包含更高阶导数值。即已知下面 \(2(n+1)\) 个数据， \[\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{{n}},y_{{n}}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{{n}},y_{{n}}')\end{matrix}\] 利用下面 Hermite 插值公式可以得到一个次数小于 \(2(n+1)\) 的多项式，那最大可能次数就是 \(2n+1\) 了，我们记这个多项式为 \(H_{2n+1}(x)\) ，它的计算公式为 \[H_{2n+1}(x)=\sum\limits_{j=0}^{n}f(x_{j})H_{n,j}(x)+\sum\limits_{j=0}^{n}f'(x_j)\hat{H}_{n,j}(x)\] 其中 \[H_{n,j}(x)=[1-2(x-x_{j})L'_{n,j}(x_{j})]L_{n,j}^{2}(x)\] \[\hat{H}_{n,j}(x)=(x-x_{j})L_{n,j}^{2}(x)\] 上面的 \(L_{n,j}\) 是拉格朗日系数多项式 \[L_{n,j}=\frac{(x-x_{0})\cdots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{j}-x_{0})\cdots(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})\cdots(x_{j}-x_{n})}\]
1.1.1. Hermite 插值实例
已知表 1 给定的数据
| \(x\) | \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 1 |
| 1 | 4 | -1 |
| 3 | 5 | -2 |
求 Hermite 插值多项式。
解：由前面介绍的知识可知，一定存在一个 5 次多项式符合这些点。我们可以设 \(f(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x +a+0\) ，代入 3 个点可得 3 个方程；求得 \(f'(x)\) 后，再代入剩下 3 个点又可得 3 个方程，6 个方程联立方程组，可求得系数 \(a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0\) ，这种方法这里不详细介绍。
由于这是 m=1 时的简单情况，下面介绍直接使用前面介绍的公式求解 Hermite 插值多项式
\(L_{2,0}(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(0-1)(0-3)}=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1\) ，从而 \(L'_{2,0}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\)
\(L_{2,1}(x)=\frac{(x-0)(x-3)}{(1-0)(1-3)}=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x\) ，从而 \(L'_{2,1}(x)=-x+\frac{3}{2}\)
\(L_{2,2}(x)=\frac{(x-0)(x-1)}{(3-0)(3-1)}=\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{6}x\) ，从而 \(L'_{2,2}(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}\)
\(H_{2,0}(x)=\left[1-2(x-0)\left(\frac{2}{3}(0)-\frac{4}{3}\right)\right]\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+1\right]^{2}=\left(1+\frac{8}{3} x\right)\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+1\right]^{2}\)
\(H_{2,1}(x)=\left[1-2(x-1)\left(-1+\frac{3}{2}\right)\right]\left[-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]^{2}=(2-x)\left[-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]^{2}\)
\(H_{2,2}(x)=\left[1-2(x-3)\left(\frac{1}{3}(3)-\frac{1}{6}\right)\right]\left[\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{6} x\right]^{2}=\left(6-\frac{5}{3} x\right)\left[\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{6} x\right]^{2}\)
\(\hat{H}_{2,0}(x)=(x-0)\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+1\right]^{2}\)
\(\hat{H}_{2,1}(x)=(x-1)\left[-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]^{2}\)
\(\hat{H}_{2,2}(x)=(x-3)\left[\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{6} x\right]^{2}\)
从而可得 Hermite 插值多项式为：
\[\begin{aligned} H_{5}(x) =& 2\left(1+\frac{8}{3} x\right)\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+1\right]^{2}+4(2-x)\left[-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]^{2}+5\left(6-\frac{5}{3} x\right)\left[\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{6} x\right]^{2} \\
& +1(x)\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+1\right]^{2} - 1(x-1)\left[-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]^{2}-2(x-3)\left[\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{6} x\right]^{2} \\
=& -\frac{5}{6} x^{5}+\frac{71}{12} x^{4}-\frac{40}{3} x^{3}+\frac{37}{4} x^{2}+x+2 \end{aligned}\]
2. Birkhoff 插值（缺项的 Hermite 插值）
给定 \(k\) 个实数 \(X=\{x_1, x_2, \cdots, x_k\}\) ，它们满足 \(x_1 < x_2 < \cdots x_k\) ；设矩阵 \(E=\left(e_{i,j}\right)_{i=1, j=0}^{k \quad l}\) ，矩阵 \(E\) 中的元素 \(e_{i,j}\) 或者为 \(0\) 或者为 \(1\) ；设矩阵 \(I(E) = \{(i,j): e_{i,j} = 1\}\) ，记 \(d=|I(E)|\) ，也就是说矩阵 \(E\) 中值为 \(1\) 的元素个数为 \(d\) 。记 \(C=\{c_{i,j}: (i,j) \in I(E)\}\) ， Birkhoff 插值问题就是指：如何寻找一个次数小于 \(d\) 次多项式 \(f(x)\) ，它们满足给定的 \(d\) 个方程： \[f^{(j)}(x_i) = c_{i,j}, \quad (i,j)\in I(E)\] 上面式子中， \(f^{(j)}(x_i) = c_{i,j}\) 表示在位置 \(x_i\) 处， \(f(x)\) 的第 \(j\) 阶导数值为 \(c_{i,j}\) ， \(x_i,c_{i,j}\) 都是给定的已知值， \(l\) 是给定数据中的最高阶导数的阶数。
Birkhoff 插值又称为 Hermite-Birkhoff 插值，或者 Lacunary（缺项的）Hermite 插值。
2.1. 求解 Birkhoff 插值的例子
已知表 2 给定的数据
| \(x\) | \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| 2 | 18 | Not available |
| 4 | Not available | 19 |
| 5 | Not available | 23 |
求 Birkhoff 插值多项式。
对于这个例子， \(x_1 = 2, x_2 = 4, x_3=5\) ， \(E =\begin{pmatrix} e_{1,0} & e_{1,1} \\ e_{2,0} & e_{2,1} \\ e_{3,0} & e_{3,1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\) ，\(I(E) = \{(1,0), (2,1), (3,1) \}\) ，\(d=|I(E)|=3\) ， \(C=\{c_{1,0}, c_{2,1}, c_{3,1}\} = \{18, 19, 23 \}\) ，Birkhoff 插值问题就是求一个 \(2\) 次（次数小于 \(3\) ）多项式满足下面三个方程： \[f(2) = 18, f'(4)=19, f'(5)=23\] 解决这个问题比较简单，设 \(f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\) ，则 \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x\) ，则有 \[\begin{aligned} f(2) &= a_0 + 2 a_1 + 4 a_2 = 18 \\ f'(4) &= a_1 + 8 a_2 = 19 \\ f'(5) &= a_1 + 10 a_2 = 23 \end{aligned}\] 从而可求得 \(a_0=4,a_1=3,a_2=2\) ，也就是说 \(f(x)=4+3x+2x^2\)
2.2. Birkhoff 插值不一定有唯一解
我们知道，在拉格朗日插值中，已知 \(d\) 个点，则一定可以找到一个次数小于 \(d\) 的唯一多项式符合这些点；在 Hermite 插值中，已知 \((n+1)(m+1)\) 个点，则一定可以找到一个次数小于 \((n+1)(m+1)\) 的唯一多项式符合这些点。
但是，在 Birkhoff 插值中，已知 \(d\) 个点，符合这些点的次数小于 \(d\) 的多项式不一定是唯一的。节 2.2.3 中就有这样的例子。
2.2.1. Polya 条件（必要条件）
Polya 给出了一个 Birkhoff 插值存在唯一解的必要条件：如果 Birkhoff 插值存在唯一解（即存在次数小于 \(d\) 唯一多项式满足给定的 \(d\) 个点），则一定有： \[|\{(i,j) \in I(E): j \le t \}| \ge t + 1, \quad 0 \le t \le l\]
通俗地讲，Polya 条件是说，Birkhoff 插值存在唯一解时，则一定有：
- 给定数据中， \(0\) 阶导数点个数 \(>= 1\)
- 给定数据中， \(0\) 阶和 \(1\) 阶导数点个数 \(>= 2\)
- 给定数据中， \(0\) 阶和 \(1\) 阶和 \(2\) 阶导数点个数 \(>= 3\)
- 给定数据中， \(0\) 阶和 \(1\) 阶直到 \(l\) 阶导数点个数 \(>= l+1\)
2.2.2. Atkinson 和 Sharma 条件（充分条件）
K. Atkinson 和 A. Sharma 在论文 A Partial Characterization of Poised Hermite-Birkhoff Interpolation Problems 中给出了一个 Birkhoff 插值存在唯一解的充分条件。
在介绍 Atkinson 和 Sharma 条件之前，我们先介绍两个概念：1-sequences 和 Supported 1-sequences。
所谓 1-sequences，就是矩阵 \(E\) 中每行中的连续 1。如果一个 1-sequences 的西北方向和西南方向都存在至少一个 1，则称这个 1-sequences 为 Supported 1-sequences。
下面用例子介绍一下 1-sequences 和 Supported 1-sequences 的概念。设 \[E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\] 这个矩阵中第一行有 1 个 1-sequences（含有两个连接 1），第二行有 1 个 1-sequences（含有一个 1），第四行有 2 个 1-sequences（分别含有一个 1）。这 4 个 1-sequences 中，只有第二行的那个 1-sequences 是 Supported 1-sequences，因为它的西北方向和西南方向都存在至少一个 1。
Atkinson 和 Sharma 条件是指： 如果 \(E\) 满足 Polya 条件，并且 \(E\) 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，则 \(E\) 对应的 Birkhoff 插值一定有唯一解（即存在次数小于 \(d\) 唯一多项式满足给定的 \(d\) 个点）。 显然，Atkinson 和 Sharma 条件是一个充分条件。
假设 \(E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, E_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\) ，其中哪些矩阵满足 Atkinson 和 Sharma 条件呢？分析如下：
\(E_1\) 满足 Polya 条件，但 \(E_1\) 是第二行有一个奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 \(E_1\) 不满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
\(E_2\) 满足 Polya 条件，且 \(E_2\) 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 \(E_2\) 满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
\(E_3\) 满足 Polya 条件，且 \(E_3\) 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 \(E_3\) 满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
\(E_4\) 不满足 Polya 条件，所以 \(E_4\) 不满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
需要说明的是：Atkinson 和 Sharma 条件依赖于实数中的顺序，它只能应用于实数域，不能直接应用于有限域。
2.2.3. 解不唯一的例子
已知 \(f(1) = 2, f'(3)=0, f(5) = 2\) ，求一个次数小于 \(3\) 的多项式满足这些点。
对于这些已知点，对应的 \(E\) 为 \[E= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\] 由上一节可知，它不满足 Atkinson 和 Sharma 条件，所以我们不能确定它是否有唯一解。
设 \(f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\) ，由 \(f(1) = 2, f'(3)=0, f(5) = 2\) 可以得到 \[\begin{aligned} a_0 &= 2 + 5 k \\ a_1 &= -6k \\ a_2 &= k \end{aligned}\] 其中 \(k\) 是任意实数。显然它没有唯一解，比如 \(f(x)=7 - 6x + x^2, f(x) = 12 - 12 x + 2x^2\) 等都满足上面那些给定的点。
其实，当 \(E\) 为 \[E= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\] 时，有时也存在唯一多项式。比如已知 \(f(1) = 2, f'(3)=0, f(6) = 3\) ，这些已知点对应的 \(E\) 就是上面的 \(E\) ，这时可以得到一个次数小于 \(3\) 的唯一多项式 \(f(x) = 3 - \frac{6}{5}x + \frac{1}{5} x^2\) 满足这些点。
2.3. 公式求解 Birkhoff 插值
在节 2.1 中介绍了通过联立方程组来求解 Birkhoff 插值的例子。 如果 Birkhoff 插值存在唯一解，我们还可以使用公式求解 Birkhoff 插值问题。
在使用公式求解 Birkhoff 插值时，给定点的 \(x\) 坐标必须是整数（因为求解过程会把给定点的 \(x\) 坐标作为矩阵元素下标的一部分，显然矩阵元素的下标只能是整数），上面这个例子是满足要求的（因为 \(2,4,5\) 都是整数）。如果已知数据中有 \(f(\frac{1}{2}) = 18\) 等形式，它是不能用公式求解的。
已知 \(d\) 个点 \(f^{(j)}(i) = \sigma_{i,j}\) （这里给定点的 \(x\) 坐标必须是整数 \(i\) ，而不是实数 \(x_i\) ）， Birkhoff 插值求解公式（摘自论文 Dynamic and Verifiable Hierarchical Secret Sharing 第 4 节）为： \[f(x)=\sum_{k=0}^{d-1} \frac{\operatorname{det}\left(A\left(E, X, \varphi_{k}\right)\right)}{\operatorname{det}(A(E, X, \varphi))} x^{k}\] 其中矩阵 \(A\) （它是一个 \(d \times d\) 的方阵，或者说是一个 \(r \times r\) 的方阵， \(d\) 和 \(r\) 是相等的）的定义为 \[A(E, X, \varphi) \triangleq \left(\begin{array}{ccccc}\phi_{0}^{(j_{1})}\left(i_{1}\right) & \phi_{1}^{(j_{1})}\left(i_{1}\right) & \phi_{2}^{(j_{1})}\left(i_{1}\right) & \cdots & \phi_{d-1}^{(j_{1})}\left(i_{1}\right) \\ \phi_{0}^{(j_{2})}\left(i_{2}\right) & \phi_{1}^{(j_{2})}\left(i_{2}\right) & \phi_{2}^{(j_{2})}\left(i_{2}\right) & \cdots & \phi_{d-1}^{(j_{2})}\left(i_{2}\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \phi_{0}^{(j_{r})}\left(i_{r}\right) & \phi_{1}^{(j_{r})}\left(i_{r}\right) & \phi_{2}^{(j_{r})}\left(i_{r}\right) & \cdots & \phi_{d-1}^{(j_{r})}\left(i_{r}\right)\end{array}\right)\] 而 \(A(E, X, \varphi_k)\) 就是把 \(A(E, X, \varphi)\) 的第 \(k+1\) 列替换为 \(d\) 个已知值 \(\sigma_{i,j}\) 。式中的 \(\varphi \triangleq \{ \phi_0,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{d-1} \} \triangleq \{1, x, x^2, \cdots, x^{d-1}\}\) ，而 \(\phi_k^{(j)}\) 表示 \(\phi_k\) （ \(k=0,1,\cdots,d-1\) ）的第 \(j\) 阶导数。比如 \(1\) 阶导数为 \(\phi_0^{(1)} = 0,\phi_1^{(1)} = 1,\phi_2^{(1)} = 2x,\cdots, \phi_{d-1}^{(1)} = (d-1)x^{d-2}\) ，又如 \(2\) 阶导数为 \(\phi_0^{(2)} = 0,\phi_1^{(2)} = 0,\phi_2^{(2)} = 2,\cdots, \phi_{d-1}^{(2)} = (d-1)(d-2)x^{d-3}\) 。矩阵 \(A\) 中的 \(i_r,j_r\) 是 \(I(E)\) 中的元素，即 \(I(E)=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_r,j_r)\}\) ，而 \(I(E)\) 是矩阵 \(E\) 中元素值为 \(1\) 的元素的下标组成的有序集合（先按下标 \(i\) 排序，再按下载 \(j\) 排序）。
需要说明的是，在使用公式求解 Birkhoff 插值时，对 \(E\) 的定义和节 2.1 中对 \(E\) 的定义有区别，后文会介绍。
这些公式看起来比较抽象，下一节将通过例子介绍公式的应用。
2.3.1. 公式求解 Birkhoff 插值的例子
这节介绍使用前一节公式来求解节 2.1 中的 Birkhoff 插值问题。为了阅读方便，重复题目如下：已知 \(f(2) = 18, f'(4) = 19, f'(5) = 23\) ，求一个 \(2\) 次多项式满足前面给定的点。
这个例子，用公式求解时，对应的 \(E\) 为 \[E=\begin{pmatrix} e_{1,0} & e_{1,1} \\ e_{2,0} & e_{2,1} \\ e_{3,0} & e_{3,1} \\ e_{4,0} & e_{4,1} \\ e_{5,0} & e_{5,1} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\] 我们可以发现，这里对 \(E\) 的定义和节 2.1 中对 \(E\) 的定义有区别。 \(I(E)\) 是矩阵 \(E\) 中元素值为 \(1\) 的元素的下标组成的有序集合，从而 \(I(E) = \{(2,0), (4,1), (5,1) \} = \{(i_1,j_1), (i_2,j_2), (i_3,j_3) \}\) ，从而 \(i_1=2,j_1=0,i_2=4,j_2=1,i_3=5,j_3=1\) 。
\[A(E, X, \varphi) = \begin{pmatrix} \phi_{0}^{(j_1)}(i_1) & \phi_{1}^{(j_1)}(i_1) & \phi_{2}^{(j_1)}(i_1) \\ \phi_{0}^{(j_2)}(i_2) & \phi_{1}^{(j_2)}(i_2) & \phi_{2}^{(j_2)}(i_2) \\ \phi_{0}^{(j_3)}(i_3) & \phi_{1}^{(j_3)}(i_3) & \phi_{2}^{(j_3)}(i_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi_{0}(2) & \phi_{1}(2) & \phi_{2}(2) \\ \phi_{0}'(4) & \phi_{1}'(4) & \phi_{2}'(4) \\ \phi_{0}'(5) & \phi_{1}'(5) & \phi_{2}'(5) \end{pmatrix}\] 代入 \(\phi_{0}(x)=1,\phi_{1}(x)=x,\phi_{2}(x)=x^2,\phi_{0}'(x)=0,\phi_{1}'(x)=1,\phi_{2}'(x)=2x\) 有 \[A(E, X, \varphi) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2^2 \\ 0 & 1 & 2 \times 4 \\ 0 & 1 & 2 \times 5 \end{pmatrix}\] 替换每一列有 \[A(E, X, \varphi_0) = \begin{pmatrix} 18 & 2 & 2^2 \\ 19 & 1 & 2 \times 4 \\ 23 & 1 & 2 \times 5 \end{pmatrix}, A(E, X, \varphi_1) = \begin{pmatrix} 1 & 18 & 2^2 \\ 0 & 19 & 2 \times 4 \\ 0 & 23 & 2 \times 5 \end{pmatrix}, A(E, X, \varphi_2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 18 \\ 0 & 1 & 19 \\ 0 & 1 & 23 \end{pmatrix}\]
所以有 \[\begin{aligned} f(x) & = \frac{\operatorname{det}\left(A\left(E, X, \varphi_{0}\right)\right)}{\operatorname{det}(A(E, X, \varphi))} + \frac{\operatorname{det}\left(A\left(E, X, \varphi_{1}\right)\right)}{\operatorname{det}(A(E, X, \varphi))}x + \frac{\operatorname{det}\left(A\left(E, X, \varphi_{2}\right)\right)}{\operatorname{det}(A(E, X, \varphi))}x^2 \\ & = \frac{8}{2} + \frac{6}{2}x + \frac{4}{2}x^2 \\ & = 4 + 3x+2x^2 \end{aligned}\]
3. 参考
- Math 450 Section 3.4: Hermite Interpolation
- Schoenberg, I.J. On Hermite-Birkhoff interpolation, 1966
- Giulia Traverso, Denise Demirel, and Johannes Buchmann, Dynamic and Verifiable Hierarchical Secret Sharing, 2017