Calculus

设某个动点沿 $y$ 轴作直线运动，已经其位移和时间的函数为 $y=f(t)$ 。如果是匀速运动，则随意取一段时间，再求得这段时间内所经过的路程，最后拿路程和时间相除就得到了该点的速度。如果不是匀速运动，则如何求得该点在某个时间 $t_0$ 的速度呢？
首先，取从时刻 $t_0$ 到 $t$ 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 $y_0=f(t_0)$ 移动到了 $y=f(t)$ ，在 $t-t_0$ 这个时间段内动点的平均速度为：
$$\frac{y-y_0}{t-t_0}=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$
如果时间间隔很短，则上面比值在实践中也可用来说明动点在时刻 $t_0$ 的速度。令 $t\to t_0$ ，取上式的极限，如果这个极限存在，设为 $v$ ，即有：
$$v=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$
这时就把这个极限值 $v$ 称为动点在时刻 $t_0$ 时刻的瞬时速度。

先介绍下曲线在某点处的切线的概念。设有曲线 C 及 C 上一点 M，在点 M 处另取 C 上一点 N，作割线 MN，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 切线 。下面将讨论如何求切线 MT 的斜率。
以曲线 C 为函数 $y=f(x)$ 的图形为例。

割线 MN 的斜率为：
$$\tan \phi =\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x)}$$
当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时（即 $x\to x_0$ ），如果上式的极限存在，设为 $k$ ，即有：
$$k=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
这是就是曲线 C 在点 M 处的切线斜率。

求函数 $f(x)=C$ （ $C$ 为常数） 的导数。
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{C-C}{h}=0$$
即常数的导数等于零。

参考：
Common Derivatives and Integrals: http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Common_Derivatives_Integrals.pdf
The Most Important Derivatives and Antiderivatives to Know: http://www.dummies.com/how-to/content/the-most-important-derivatives-and-antiderivatives.html

设 $u=u(x),v=v(x)$ 都可导，则：
(1) $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
(2) $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
(3) $\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}},v\ne 0$

设 $y=f(u)$ ，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

注：复合函数的求导法则可以推广到三个或更多个中间变量的情形。

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 在这个区间内，如果增量：
$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$
可表示为：
$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$
其中， $A$ 是不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\mathrm{\Delta }x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的 微分(Differential) ，记作 $dy$ ，即有：
$$dy=A\mathrm{\Delta }x$$

如果把式 $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$ 两边除以 $\mathrm{\Delta }x$ ，可得： $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A+\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}$ 。从而，当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，有：
$$A=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$$

函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 的微分，称为 函数的微分 ，记作 $dy$ 或 $df(x)$ ，有：
$$dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$$

总结： 微分是对函数的局部变化的一种线性描述。

实例：求函数 $y=x^2$ 在 $x=1$ 和 $x=3$ 处的微分。
解：函数 $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的微分为： $dy{|}_{x=1}=(x^2{)}^{\prime }{|}_{x=1}\mathrm{\Delta }x=2\mathrm{\Delta }x$ ；在 $x=3$ 处的微分为： $dy{|}_{x=3}=(x^2{)}^{\prime }{|}_{x=3}\mathrm{\Delta }x=6\mathrm{\Delta }x$ 。

实例：求函数 $y=x^3$ 当 $x=2,\mathrm{\Delta }x=0.02$ 时的微分。
解： $dy{|}_{\begin{array}{c}x=2\\ \mathrm{\Delta }x=0.02\end{array}}=(x^3{)}^{\prime }\mathrm{\Delta }x{|}_{\begin{array}{c}x=2\\ \mathrm{\Delta }x=0.02\end{array}}=3\cdot 2^2\cdot 0.02=0.24$

在工程问题中，经常遇到一些复杂的计算公式，直接计算比较麻烦，利用微分可以把复杂的计算公式用简单的近似公式来代替（用 $dy$ 近似代替 $\mathrm{\Delta }y$ ）。

由前面介绍的知识，有：
$$\mathrm{\Delta }y\approx dy=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x,(\mathrm{\Delta }x\to 0)$$
上式也可写为：
$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x,(\mathrm{\Delta }x\to 0)$$
或：
$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x,(\mathrm{\Delta }x\to 0)$$
上面这些式子都可以用来作近似计算。

实例：求 $\int x^2\mathrm{d}x$
解：由于 ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ ，所以 $\frac{x^3}{3}$ 是 $x^2$ 的一个原函数，从而 $\int x^2\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+C$

定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 、两条直线 $x=a$ 和 $x=b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。如果所围图形出现在 $x$ 轴的下方，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 表示 $x$ 轴上方图形面积减去 $x$ 轴下方图形面积所得之差。

实例：计算定积分 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$
解：由于 $\frac{x^3}{3}$ 是 $x^2$ 的一个原函数，根据牛顿-莱布尼茨公式，有
$${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$

求多元函数的偏导数，并不需要新方法，因为只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的。

实例：求 $z=x^2+3xy+y^2$ 的偏导数。
解：把 $y$ 看做常量，得 $\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$ ；把 $x$ 看做常量，得 $\frac{\partial z}{\partial y}=3x+2y$ 。

二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数有下述几何意义。
设 $M_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$ 为曲面 $z=f(x,y)$ 上的一点，过 $M_0$ 作平面 $y=y_0$ ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 $y=y_0$ 上的方程为 $z=f(x,y_0)$ ，则偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 就是这曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0{T}_x$ 对 $x$ 轴的斜率。
同样，偏导数 $f_y(x_0,y_0)$ 的几何意义是曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0{T}_y$ 对 $y$ 轴的斜率。

总结： 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率。

设函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ ，在 $D$ 内它们都是 $x,y$ 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 $z=f(x,y)$ 的 二阶偏导数 。按照对变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)$$
$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)$$
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)$$
$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)$$
其中第二、三个偏导数称为混合偏导数（可以证明它们是相等的）。类似地，可得其他更高阶的偏导数。

对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以处，并不其他条件，这称为无条件极值。函数的无条件极值问题，可以利用下面定理求得。

定理（必要条件）：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0,y_0)$ 处有极值，则有： $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$ 。
定理（充分条件）：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$ ，令
$$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$$
则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：
(1) $AC-B^2>0$ 时具有极值，且当 $A<0$ 时有极大值，当 $A>0$ 时有极小值；
(2) $AC-B^2<0$ 时没有极值；
(3) $AC-B^2=0$ 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

说明：上面定理可以推广到求解三元或更多元函数的极值，请看下节。

假设 $n$ 元函数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 在定义域内二阶连续可导，如何求解它的极值呢？

第一步，求驻点。
求解下面方程组：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x_1}=0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}=0\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}=0\end{array}$$
求得的解即为驻点，设共有 $k$ 个解，记作 $M_i,(i=1,2,\cdots ,k)$

第二步，判断驻点是否为极值点。
求函数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的 Hessian 矩阵：
$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(\mathit{x})=\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right)$$

依次验证每个驻点 $M_i,(i=1,2,\cdots ,k)$ ：
(1) 如果 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(M_i)$ 是正定矩阵，则该点是一个极小值；
(2) 如果 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(M_i)$ 是负定矩阵，则该点是一个极大值；
(3) 如果 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(M_i)$ 是不定矩阵，则该点不是极值点。

注：正定矩阵等概念请参考线性代数或矩阵论相关资料。

除前面讨论的无条件极值。在实例问题中，对可能会对自变量附加条件，这称为条件极值（这里只讨论附加约束条件为等式的情况）。
例如，求表面积为 $a^2$ 而体积为最大的长方体的体积问题。可化为满足条件 $2(xy+yz+zx)=a^2$ ，求 $V=xyz$ 的极值。对于这个条件极值问题，可以用下面方法转换为无条件极值问题：由 $2(xy+yz+zx)=a^2$ 求出 $z$ 关于 $x,y$ 的函数，再代入到 $V=xyz$ 中，可得到 $V=\frac{xy}{2}\left(\frac{a^2-2xy}{x+y}\right)$ ，这样就把条件极值问题化为了无条件极值问题。

但在很多情形下，将条件极值问题化为了无条件极值问题是很困难的。下面介绍的拉格朗日乘数法可以帮助我们求解条件极值。

拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)：要找函数 $z=f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
$$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$$
其中 $\lambda$ 为参数，求其对 $x$ 与 $y$ 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 $\phi (x,y)=0$ 联立起来，组成方程组：
$$\{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)+\lambda {\phi }_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda {\phi }_y(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$
由上面方程组解出 $x$ 和 $y$ 就是函数 $f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$ 下的可能极值点。

说明 1：至于可能极值点是否是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
说明 2：极值点是极小值点还是极大值点，可以由 $f$ 的 Hessian 矩阵在该点是否是正定矩阵来判断。如果 Hessian 矩阵在极值点是正定矩阵，则该极值点为极小值点；如果 Hessian 矩阵在极值点是负定矩阵，则该极值点为极大值点。

上面方法可以推广到自变量多于两个，条件多于一个的情形。如 $u=f(x,y,z,t)$ 在两个附加条件 $\phi (x,y,z,t)=0,\varphi (x,y,z,t)=0$ 下的极值，可以先作拉格朗日函数$L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda \phi (x,y,z,t)+\mu \varphi (x,y,z,t)$ ，对它关于 $x,y,z,t$ 求一阶偏导数再与附加条件联立得到一个方程组，方程组的解即是可能的极值点。

参考：
Lagrange Multiplier: http://mathworld.wolfram.com/LagrangeMultiplier.html

例：求表面积为 $a^2$ 而体积为最大的长方体的体积。
解：设长方体的三棱长为 $x,y,z$ ，则问题就是在条件
$$\phi (x,y,z)=2(xy+yz+zx)-a^2=0$$
下，求函数
$$V=xyz(x>0,y>0,z>0)$$
的最大值。
作拉格朗日函数
$$L(x,y,z)=xyz+\lambda (2xy+2yz+2zx-a^2)$$
求其对 $x,y,z$ 的偏导数，并使之为零。再和 $\phi (x,y,z)=0$ 联立，得到方程组：
$$\{\begin{array}{l}yz+2\lambda (y+z)=0\\ xz+2\lambda (x+z)=0\\ xy+2\lambda (y+x)=0\\ 2(xy+yz+zx)-a^2=0\end{array}$$
由上面方程组，可以求得：
$$x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a$$
这是唯一可能的极值点。由于问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。故表面积为 $a^2$ 的长方体的最大体积为 $V=\frac{\sqrt{6}}{36}{a}^3$

函数方向导数定义如下：
设 $f$ 是定义于 $R^n$ 中某个区域 $D$ 上的函数，点 $P_0\in D$ ， $l$ 为一给定的非零向量， $P$ 为一动点，向量 $P_{0}P$ 与 $l$ 的方向始终一致。如果极限
$$\underset{||P_{0}P||\to 0}{lim}\frac{f(P)-f(P_0)}{||P_{0}P||}$$
存在，则称此极限为 函数 $f$ 在 $P_0$ 处沿 $l$ 方向的方向导数 ，记作 ${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{P_0}$ ，即有：
$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{P_0}=\underset{||P_{0}P||\to 0}{lim}\frac{f(P)-f(P_0)}{||P_{0}P||}$$

常用下面定理求解方法导数：
若函数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 在点 $P_0$ 处可微，那么函数在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数存在，且有：
$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{P_0}={\frac{\partial f}{\partial x_1}|}_{P_0}\cos {\alpha }_1+{\frac{\partial f}{\partial x_2}|}_{P_0}\cos {\alpha }_2+\cdots +{\frac{\partial f}{\partial x_n}|}_{P_0}\cos {\alpha }_n$$
其中， $\cos {\alpha }_1,\cos {\alpha }_2,\cdots ,\cos {\alpha }_n$ 是方向 $l$ 的方向余弦。

方向余弦的定义如下：
设 $l$ 是一个 $n$ 维非零向量， $l_0=\frac{l}{||l||}$ ，即 $l_0$ 是与 $l$ 同向的单位向量。取 $0\le {\alpha }_i\le \pi$ ，使 $l_0=(\cos {\alpha }_1,\cos {\alpha }_2,\cdots ,\cos {\alpha }_n)$ ，显然会有 ${\cos }^2{\alpha }_1+{\cos }^2{\alpha }_2+\cdots +{\cos }^2{\alpha }_n=1$ ，称 $\cos {\alpha }_1,\cos {\alpha }_2,\cdots ,\cos {\alpha }_n$ 为 向量 $l$ 的方向余弦 。

实例：求 $f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 在点 $(1,1,2)$ 沿方向 $l$ 的方向导数，其中 $l$ 的方向角分别为 ${60}^o,{45}^o,{60}^o$
解：方向 $l$ 的方向余弦为：
$$(\cos {60}^o,\cos {45}^o,\cos {60}^o)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$$
又，函数 $f(x,y,z)$ 在点 $(1,1,2)$ 处对 $x,y,z$ 的偏导数为：
$${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(1,1,2)}={(y+z)|}_{(1,1,2)}=3$$
$${\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(1,1,2)}={(x+z)|}_{(1,1,2)}=3$$
$${\frac{\partial f}{\partial z}|}_{(1,1,2)}={(y+x)|}_{(1,1,2)}=2$$
所以有：
$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(1,1,2)}=3\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3\sqrt{2})$$

设二元函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_0(x_0,y_0)\in D$ ，向量 ${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}\mathit{i}+{\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(x_0,y_0)}\mathit{j}$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的 梯度(Gradient) ，记作 $\text{grad}f(x_0,y_0)$ 或者 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ ，即有：
$$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)={\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}\mathit{i}+{\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(x_0,y_0)}\mathit{j}$$
其中 $\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathit{j}$ 称为（二维的）“向量微分算子”或者“Nabla 算子”。对于平面区域 $D$ 上的每一点都有梯度，记为：
$$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathit{j}$$

以上梯度概念可以容易地推广到三维和更高维的情况。

说明： 沿梯度方向，函数值增加最快。同样可知，沿梯度的相反方向函数值的减少最快。

实例：设 $f(x,y,z)=x^3-x{y}^2-z$ ，问 $f(x,y,z)$ 在 $P_0(1,1,0)$ 处沿什么方向增加最快？
解：由于 $\mathrm{\nabla }f=f_x\mathit{i}+f_y\mathit{j}+f_z\mathit{k}=(3x^2-y^2)\mathit{i}-2xy\mathit{j}-\mathit{k}$ ，从而 $f(x,y,z)$ 在 $P_0(1,1,0)$ 处沿 $\mathrm{\nabla }f(1,1,0)=2\mathit{i}-2\mathit{j}-\mathit{k}$ 的方向增加最快。

拉格朗日乘数法求解条件极值可以表述为：
$f$ 在 $M$ 个约束条件 $g_1=0,g_2=0,\cdots ,g_M=0$ 下的可能极值点是满足下面方程组的解：
$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }f+\sum _{k=1}^M{\lambda }_k\mathrm{\nabla }{g}_k=0\\ g_1=g_2=\cdots =g_M=0\end{array}$$

其中 $\mathrm{\nabla }f+\sum _{k=1}^M{\lambda }_k\mathrm{\nabla }{g}_k=0$ 是一个向量方程。

实例：求解 $u=f(x,y,z,t)$ 在两个附加条件 $g_1(x,y,z,t)=0,g_2(x,y,z,t)=0$ 下的极值。
可以先作拉格朗日函数 $L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+{\lambda }_1{g}_1(x,y,z,t)+{\lambda }_2{g}_2(x,y,z,t)$ ，对它关于 $x,y,z,t$ 求一阶偏导数再与附加条件联立成方程组，得：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}+{\lambda }_1\frac{\partial g_1}{\partial x}+{\lambda }_2\frac{\partial g_2}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}+{\lambda }_1\frac{\partial g_1}{\partial y}+{\lambda }_2\frac{\partial g_2}{\partial y}=0\\ \frac{\partial f}{\partial z}+{\lambda }_1\frac{\partial g_1}{\partial z}+{\lambda }_2\frac{\partial g_2}{\partial z}=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}+{\lambda }_1\frac{\partial g_1}{\partial t}+{\lambda }_2\frac{\partial g_2}{\partial t}=0\\ g_1(x,y,z,t)=0\\ g_2(x,y,z,t)=0\end{array}$$

上面方程组可简写为如下“Nabla 算子”形式：
$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }f+{\lambda }_1\mathrm{\nabla }{g}_1+{\lambda }_2\mathrm{\nabla }{g}_2=0\\ g_1=g_2=0\end{array}$$