Hermite and Birkhoff Interpolation

1. Hermite 插值
- 1.1. 简单情况（m=1）时的公式
  - 1.1.1. Hermite 插值实例
2. Birkhoff 插值（缺项的 Hermite 插值）
3. 参考

1. Hermite 插值

在数值分析（Numerical Analysis）中，埃尔米特插值（Hermite interpolation）是一种多项式插值方法，它是拉格朗日插值（Lagrangian interpolation）的一种推广。

我们知道，已知 $n + 1$ 个点 $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，使用拉格朗日插值方法可以找到一个次数小于 $n + 1$ 的唯一的多项式符合这些点。比如，已知 3 个点 $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$ ，使用拉格朗日插值方法可以找到一个 2 次多项式 $L (x) = x^{2}$ 符合这些点。

在使用拉格朗日插值时，已知的点都是某些位置的直接函数值（没有导数值）；而 Hermite 插值中，已知的点不仅包含函数值，还可以包含函数的导数值。

已知下面 $(n + 1) (m + 1)$ 个点： $\begin{matrix} (x_{0}, y_{0}), & (x_{1}, y_{1}), & \dots, & (x_{n}, y_{n}), \\ (x_{0}, y_{0}^{'}), & (x_{1}, y_{1}^{'}), & \dots, & (x_{n}, y_{n}^{'}), \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (x_{0}, y_{0}^{(m)}), & (x_{1}, y_{1}^{(m)}), & \dots, & (x_{n}, y_{n}^{(m)}) \end{matrix}$ 式中 $y_{0}^{'}$ 是一阶导函数在 $x_{0}$ 处的值， $y_{0}^{(m)}$ 是 $m$ 阶导函数在 $x_{0}$ 处的值，其它记号类似。 使用 Hermite 插值可以找到一个次数小于 $(n + 1) (m + 1)$ 的唯一的多项式符合这些点。 显然当 $m = 0$ 时，不涉及导函数，可以直接使用拉格朗日插值方法。本文仅介绍当 $m = 1$ 时的简单情况。

1.1. 简单情况（m=1）时的公式

当 $m = 1$ 时，也就是给定的数据最多包含一阶导数值，不会包含更高阶导数值。即已知下面 $2 (n + 1)$ 个数据， $\begin{matrix} (x_{0}, y_{0}), & (x_{1}, y_{1}), & \dots, & (x_{n}, y_{n}), \\ (x_{0}, y_{0}^{'}), & (x_{1}, y_{1}^{'}), & \dots, & (x_{n}, y_{n}^{'}) \end{matrix}$ 利用下面 Hermite 插值公式可以得到一个次数小于 $2 (n + 1)$ 的多项式，那最大可能次数就是 $2 n + 1$ 了，我们记这个多项式为 $H_{2 n + 1} (x)$ ，它的计算公式为 $H_{2 n + 1} (x) = \sum_{j = 0}^{n} f (x_{j}) H_{n, j} (x) + \sum_{j = 0}^{n} f^{'} (x_{j}) {\hat{H}}_{n, j} (x)$ 其中 $H_{n, j} (x) = [1 - 2 (x - x_{j}) L_{n, j}^{'} (x_{j})] L_{n, j}^{2} (x)$ ${\hat{H}}_{n, j} (x) = (x - x_{j}) L_{n, j}^{2} (x)$ 上面的 $L_{n, j}$ 是拉格朗日系数多项式 $L_{n, j} = \frac{(x - x_{0}) \dots (x - x_{j - 1}) (x - x_{j + 1}) \dots (x - x_{n})}{(x_{j} - x_{0}) \dots (x_{j} - x_{j - 1}) (x_{j} - x_{j + 1}) \dots (x_{j} - x_{n})}$

1.1.1. Hermite 插值实例

已知表 1 给定的数据

Table 1: Hermite 插值问题的给定数据
$x$	$f (x)$	$f^{'} (x)$
0	2	1
1	4	-1
3	5	-2

求 Hermite 插值多项式。

解：由前面介绍的知识可知，一定存在一个 5 次多项式符合这些点。我们可以设 $f (x) = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a + 0$ ，代入 3 个点可得 3 个方程；求得 $f^{'} (x)$ 后，再代入剩下 3 个点又可得 3 个方程，6 个方程联立方程组，可求得系数 $a_{5}, a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ ，这种方法这里不详细介绍。

由于这是 m=1 时的简单情况，下面介绍直接使用前面介绍的公式求解 Hermite 插值多项式
$L_{2, 0} (x) = \frac{(x - 1) (x - 3)}{(0 - 1) (0 - 3)} = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1$ ，从而 $L_{2, 0}^{'} (x) = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$
$L_{2, 1} (x) = \frac{(x - 0) (x - 3)}{(1 - 0) (1 - 3)} = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$ ，从而 $L_{2, 1}^{'} (x) = - x + \frac{3}{2}$
$L_{2, 2} (x) = \frac{(x - 0) (x - 1)}{(3 - 0) (3 - 1)} = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x$ ，从而 $L_{2, 2}^{'} (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

$H_{2, 0} (x) = [1 - 2 (x - 0) (\frac{2}{3} (0) - \frac{4}{3})] {[\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1]}^{2} = (1 + \frac{8}{3} x) {[\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1]}^{2}$
$H_{2, 1} (x) = [1 - 2 (x - 1) (- 1 + \frac{3}{2})] {[- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x]}^{2} = (2 - x) {[- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x]}^{2}$
$H_{2, 2} (x) = [1 - 2 (x - 3) (\frac{1}{3} (3) - \frac{1}{6})] {[\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x]}^{2} = (6 - \frac{5}{3} x) {[\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x]}^{2}$

${\hat{H}}_{2, 0} (x) = (x - 0) {[\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1]}^{2}$
${\hat{H}}_{2, 1} (x) = (x - 1) {[- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x]}^{2}$
${\hat{H}}_{2, 2} (x) = (x - 3) {[\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x]}^{2}$

从而可得 Hermite 插值多项式为：
$\begin{aligned} H_{5} (x) = & 2 (1 + \frac{8}{3} x) {[\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1]}^{2} + 4 (2 - x) {[- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x]}^{2} + 5 (6 - \frac{5}{3} x) {[\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x]}^{2} \\ + 1 (x) {[\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1]}^{2} - 1 (x - 1) {[- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x]}^{2} - 2 (x - 3) {[\frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{6} x]}^{2} \\ = & - \frac{5}{6} x^{5} + \frac{71}{12} x^{4} - \frac{40}{3} x^{3} + \frac{37}{4} x^{2} + x + 2 \end{aligned}$

2. Birkhoff 插值（缺项的 Hermite 插值）

给定 $k$ 个实数 $X = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ ，它们满足 $x_{1} < x_{2} < \dots x_{k}$ ；设矩阵 $E = {(e_{i, j})}_{i = 1, j = 0}^{k l}$ ，矩阵 $E$ 中的元素 $e_{i, j}$ 或者为 $0$ 或者为 $1$ ；设矩阵 $I (E) = {(i, j) : e_{i, j} = 1}$ ，记 $d = | I (E) |$ ，也就是说矩阵 $E$ 中值为 $1$ 的元素个数为 $d$ 。记 $C = {c_{i, j} : (i, j) \in I (E)}$ ， Birkhoff 插值问题就是指：如何寻找一个次数小于 $d$ 次多项式 $f (x)$ ，它们满足给定的 $d$ 个方程： $f^{(j)} (x_{i}) = c_{i, j}, (i, j) \in I (E)$ 上面式子中， $f^{(j)} (x_{i}) = c_{i, j}$ 表示在位置 $x_{i}$ 处， $f (x)$ 的第 $j$ 阶导数值为 $c_{i, j}$ ， $x_{i}, c_{i, j}$ 都是给定的已知值， $l$ 是给定数据中的最高阶导数的阶数。

Birkhoff 插值又称为 Hermite-Birkhoff 插值，或者 Lacunary（缺项的）Hermite 插值。

2.1. 求解 Birkhoff 插值的例子

已知表 2 给定的数据

Table 2: Birkhoff 插值问题的给定数据（相对于 Hermite 插值问题的给定数据来说它有“缺项”，即 Not available 位置）
$x$	$f (x)$	$f^{'} (x)$
2	18	Not available
4	Not available	19
5	Not available	23

求 Birkhoff 插值多项式。

对于这个例子， $x_{1} = 2, x_{2} = 4, x_{3} = 5$ ， $E = (\begin{matrix} e_{1, 0} & e_{1, 1} \\ e_{2, 0} & e_{2, 1} \\ e_{3, 0} & e_{3, 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ， $I (E) = {(1, 0), (2, 1), (3, 1)}$ ， $d = | I (E) | = 3$ ， $C = {c_{1, 0}, c_{2, 1}, c_{3, 1}} = {18, 19, 23}$ ，Birkhoff 插值问题就是求一个 $2$ 次（次数小于 $3$ ）多项式满足下面三个方程： $f (2) = 18, f^{'} (4) = 19, f^{'} (5) = 23$ 解决这个问题比较简单，设 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ ，则 $f^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x$ ，则有 $\begin{aligned} f (2) & = a_{0} + 2 a_{1} + 4 a_{2} = 18 \\ f^{'} (4) & = a_{1} + 8 a_{2} = 19 \\ f^{'} (5) & = a_{1} + 10 a_{2} = 23 \end{aligned}$ 从而可求得 $a_{0} = 4, a_{1} = 3, a_{2} = 2$ ，也就是说 $f (x) = 4 + 3 x + 2 x^{2}$

2.2. Birkhoff 插值不一定有唯一解

我们知道，在拉格朗日插值中，已知 $d$ 个点，则一定可以找到一个次数小于 $d$ 的唯一多项式符合这些点；在 Hermite 插值中，已知 $(n + 1) (m + 1)$ 个点，则一定可以找到一个次数小于 $(n + 1) (m + 1)$ 的唯一多项式符合这些点。

但是，在 Birkhoff 插值中，已知 $d$ 个点，符合这些点的次数小于 $d$ 的多项式不一定是唯一的。节 2.2.3 中就有这样的例子。

2.2.1. Polya 条件（必要条件）

Polya 给出了一个 Birkhoff 插值存在唯一解的必要条件：如果 Birkhoff 插值存在唯一解（即存在次数小于 $d$ 唯一多项式满足给定的 $d$ 个点），则一定有： $| {(i, j) \in I (E) : j \leq t} | \geq t + 1, 0 \leq t \leq l$

通俗地讲，Polya 条件是说，Birkhoff 插值存在唯一解时，则一定有：

给定数据中， $0$ 阶导数点个数 $>= 1$
给定数据中， $0$ 阶和 $1$ 阶导数点个数 $>= 2$
给定数据中， $0$ 阶和 $1$ 阶和 $2$ 阶导数点个数 $>= 3$
给定数据中， $0$ 阶和 $1$ 阶直到 $l$ 阶导数点个数 $>= l + 1$

2.2.2. Atkinson 和 Sharma 条件（充分条件）

K. Atkinson 和 A. Sharma 在论文 A Partial Characterization of Poised Hermite-Birkhoff Interpolation Problems 中给出了一个 Birkhoff 插值存在唯一解的充分条件。

在介绍 Atkinson 和 Sharma 条件之前，我们先介绍两个概念：1-sequences 和 Supported 1-sequences。

所谓 1-sequences，就是矩阵 $E$ 中每行中的连续 1。如果一个 1-sequences 的西北方向和西南方向都存在至少一个 1，则称这个 1-sequences 为 Supported 1-sequences。

下面用例子介绍一下 1-sequences 和 Supported 1-sequences 的概念。设 $E = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 这个矩阵中第一行有 1 个 1-sequences（含有两个连接 1），第二行有 1 个 1-sequences（含有一个 1），第四行有 2 个 1-sequences（分别含有一个 1）。这 4 个 1-sequences 中，只有第二行的那个 1-sequences 是 Supported 1-sequences，因为它的西北方向和西南方向都存在至少一个 1。

Atkinson 和 Sharma 条件是指：如果 $E$ 满足 Polya 条件，并且 $E$ 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，则 $E$ 对应的 Birkhoff 插值一定有唯一解（即存在次数小于 $d$ 唯一多项式满足给定的 $d$ 个点）。显然，Atkinson 和 Sharma 条件是一个充分条件。

假设 $E_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), E_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}), E_{4} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ ，其中哪些矩阵满足 Atkinson 和 Sharma 条件呢？分析如下：
$E_{1}$ 满足 Polya 条件，但 $E_{1}$ 是第二行有一个奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 $E_{1}$ 不满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
$E_{2}$ 满足 Polya 条件，且 $E_{2}$ 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 $E_{2}$ 满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
$E_{3}$ 满足 Polya 条件，且 $E_{3}$ 中不包含奇数长度的 Supported 1-sequences，所以 $E_{3}$ 满足 Atkinson 和 Sharma 条件。
$E_{4}$ 不满足 Polya 条件，所以 $E_{4}$ 不满足 Atkinson 和 Sharma 条件。

需要说明的是：Atkinson 和 Sharma 条件依赖于实数中的顺序，它只能应用于实数域，不能直接应用于有限域。

2.2.3. 解不唯一的例子

已知 $f (1) = 2, f^{'} (3) = 0, f (5) = 2$ ，求一个次数小于 $3$ 的多项式满足这些点。

对于这些已知点，对应的 $E$ 为 $E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ 由上一节可知，它不满足 Atkinson 和 Sharma 条件，所以我们不能确定它是否有唯一解。

设 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ ，由 $f (1) = 2, f^{'} (3) = 0, f (5) = 2$ 可以得到 $\begin{aligned} a_{0} & = 2 + 5 k \\ a_{1} & = - 6 k \\ a_{2} & = k \end{aligned}$ 其中 $k$ 是任意实数。显然它没有唯一解，比如 $f (x) = 7 - 6 x + x^{2}, f (x) = 12 - 12 x + 2 x^{2}$ 等都满足上面那些给定的点。

其实，当 $E$ 为 $E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ 时，有时也存在唯一多项式。比如已知 $f (1) = 2, f^{'} (3) = 0, f (6) = 3$ ，这些已知点对应的 $E$ 就是上面的 $E$ ，这时可以得到一个次数小于 $3$ 的唯一多项式 $f (x) = 3 - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5} x^{2}$ 满足这些点。

2.3. 公式求解 Birkhoff 插值

在节 2.1 中介绍了通过联立方程组来求解 Birkhoff 插值的例子。 如果 Birkhoff 插值存在唯一解，我们还可以使用公式求解 Birkhoff 插值问题。

在使用公式求解 Birkhoff 插值时，给定点的 $x$ 坐标必须是整数（因为求解过程会把给定点的 $x$ 坐标作为矩阵元素下标的一部分，显然矩阵元素的下标只能是整数），上面这个例子是满足要求的（因为 $2, 4, 5$ 都是整数）。如果已知数据中有 $f (\frac{1}{2}) = 18$ 等形式，它是不能用公式求解的。

已知 $d$ 个点 $f^{(j)} (i) = σ_{i, j}$ （这里给定点的 $x$ 坐标必须是整数 $i$ ，而不是实数 $x_{i}$ ）， Birkhoff 插值求解公式（摘自论文 Dynamic and Verifiable Hierarchical Secret Sharing 第 4 节）为： $f (x) = \sum_{k = 0}^{d - 1} \frac{\det (A (E, X, φ_{k}))}{\det (A (E, X, φ))} x^{k}$ 其中矩阵 $A$ （它是一个 $d \times d$ 的方阵，或者说是一个 $r \times r$ 的方阵， $d$ 和 $r$ 是相等的）的定义为 $A (E, X, φ) ≜ (\begin{array}{ccccc} ϕ_{0}^{(j_{1})} (i_{1}) & ϕ_{1}^{(j_{1})} (i_{1}) & ϕ_{2}^{(j_{1})} (i_{1}) & \dots & ϕ_{d - 1}^{(j_{1})} (i_{1}) \\ ϕ_{0}^{(j_{2})} (i_{2}) & ϕ_{1}^{(j_{2})} (i_{2}) & ϕ_{2}^{(j_{2})} (i_{2}) & \dots & ϕ_{d - 1}^{(j_{2})} (i_{2}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ ϕ_{0}^{(j_{r})} (i_{r}) & ϕ_{1}^{(j_{r})} (i_{r}) & ϕ_{2}^{(j_{r})} (i_{r}) & \dots & ϕ_{d - 1}^{(j_{r})} (i_{r}) \end{array})$ 而 $A (E, X, φ_{k})$ 就是把 $A (E, X, φ)$ 的第 $k + 1$ 列替换为 $d$ 个已知值 $σ_{i, j}$ 。式中的 $φ ≜ {ϕ_{0}, ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{d - 1}} ≜ {1, x, x^{2}, \dots, x^{d - 1}}$ ，而 $ϕ_{k}^{(j)}$ 表示 $ϕ_{k}$ （ $k = 0, 1, \dots, d - 1$ ）的第 $j$ 阶导数。比如 $1$ 阶导数为 $ϕ_{0}^{(1)} = 0, ϕ_{1}^{(1)} = 1, ϕ_{2}^{(1)} = 2 x, \dots, ϕ_{d - 1}^{(1)} = (d - 1) x^{d - 2}$ ，又如 $2$ 阶导数为 $ϕ_{0}^{(2)} = 0, ϕ_{1}^{(2)} = 0, ϕ_{2}^{(2)} = 2, \dots, ϕ_{d - 1}^{(2)} = (d - 1) (d - 2) x^{d - 3}$ 。矩阵 $A$ 中的 $i_{r}, j_{r}$ 是 $I (E)$ 中的元素，即 $I (E) = {(i_{1}, j_{1}), (i_{2}, j_{2}), \dots, (i_{r}, j_{r})}$ ，而 $I (E)$ 是矩阵 $E$ 中元素值为 $1$ 的元素的下标组成的有序集合（先按下标 $i$ 排序，再按下载 $j$ 排序）。

需要说明的是，在使用公式求解 Birkhoff 插值时，对 $E$ 的定义和节 2.1 中对 $E$ 的定义有区别，后文会介绍。

这些公式看起来比较抽象，下一节将通过例子介绍公式的应用。

2.3.1. 公式求解 Birkhoff 插值的例子

这节介绍使用前一节公式来求解节 2.1 中的 Birkhoff 插值问题。为了阅读方便，重复题目如下：已知 $f (2) = 18, f^{'} (4) = 19, f^{'} (5) = 23$ ，求一个 $2$ 次多项式满足前面给定的点。

这个例子，用公式求解时，对应的 $E$ 为 $E = (\begin{matrix} e_{1, 0} & e_{1, 1} \\ e_{2, 0} & e_{2, 1} \\ e_{3, 0} & e_{3, 1} \\ e_{4, 0} & e_{4, 1} \\ e_{5, 0} & e_{5, 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 我们可以发现，这里对 $E$ 的定义和节 2.1 中对 $E$ 的定义有区别。 $I (E)$ 是矩阵 $E$ 中元素值为 $1$ 的元素的下标组成的有序集合，从而 $I (E) = {(2, 0), (4, 1), (5, 1)} = {(i_{1}, j_{1}), (i_{2}, j_{2}), (i_{3}, j_{3})}$ ，从而 $i_{1} = 2, j_{1} = 0, i_{2} = 4, j_{2} = 1, i_{3} = 5, j_{3} = 1$ 。

$A (E, X, φ) = (\begin{matrix} ϕ_{0}^{(j_{1})} (i_{1}) & ϕ_{1}^{(j_{1})} (i_{1}) & ϕ_{2}^{(j_{1})} (i_{1}) \\ ϕ_{0}^{(j_{2})} (i_{2}) & ϕ_{1}^{(j_{2})} (i_{2}) & ϕ_{2}^{(j_{2})} (i_{2}) \\ ϕ_{0}^{(j_{3})} (i_{3}) & ϕ_{1}^{(j_{3})} (i_{3}) & ϕ_{2}^{(j_{3})} (i_{3}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} ϕ_{0} (2) & ϕ_{1} (2) & ϕ_{2} (2) \\ ϕ_{0}^{'} (4) & ϕ_{1}^{'} (4) & ϕ_{2}^{'} (4) \\ ϕ_{0}^{'} (5) & ϕ_{1}^{'} (5) & ϕ_{2}^{'} (5) \end{matrix})$ 代入 $ϕ_{0} (x) = 1, ϕ_{1} (x) = x, ϕ_{2} (x) = x^{2}, ϕ_{0}^{'} (x) = 0, ϕ_{1}^{'} (x) = 1, ϕ_{2}^{'} (x) = 2 x$ 有 $A (E, X, φ) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 2^{2} \\ 0 & 1 & 2 \times 4 \\ 0 & 1 & 2 \times 5 \end{matrix})$ 替换每一列有 $A (E, X, φ_{0}) = (\begin{matrix} 18 & 2 & 2^{2} \\ 19 & 1 & 2 \times 4 \\ 23 & 1 & 2 \times 5 \end{matrix}), A (E, X, φ_{1}) = (\begin{matrix} 1 & 18 & 2^{2} \\ 0 & 19 & 2 \times 4 \\ 0 & 23 & 2 \times 5 \end{matrix}), A (E, X, φ_{2}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 18 \\ 0 & 1 & 19 \\ 0 & 1 & 23 \end{matrix})$

所以有 $\begin{aligned} f (x) & = \frac{\det (A (E, X, φ_{0}))}{\det (A (E, X, φ))} + \frac{\det (A (E, X, φ_{1}))}{\det (A (E, X, φ))} x + \frac{\det (A (E, X, φ_{2}))}{\det (A (E, X, φ))} x^{2} \\ = \frac{8}{2} + \frac{6}{2} x + \frac{4}{2} x^{2} \\ = 4 + 3 x + 2 x^{2} \end{aligned}$

3. 参考

Math 450 Section 3.4: Hermite Interpolation
Schoenberg, I.J. On Hermite-Birkhoff interpolation, 1966
Giulia Traverso, Denise Demirel, and Johannes Buchmann, Dynamic and Verifiable Hierarchical Secret Sharing, 2017